Festgehalten, falls die PDF mal offline geht:
Beweis. Wegen der Sätze \( 12.2 \) und \( 12.7 \) gilt für \( a=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{m_{i}} \) und \( b= \) \( \prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{n_{i}} \) mit \( p_{i} \in \mathbb{P}, m_{i}, n_{i} \in \mathbb{N}_{0} \)
\( \begin{aligned} \operatorname{ggT}(a, b) \cdot \operatorname{kgV}(a, b) &=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{\min \left(m_{i}, n_{i}\right)} \cdot \prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{\max \left(m_{i}, n_{i}\right)} \\ &=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{\min \left(m_{i}, n_{i}\right)+\max \left(m_{i}, n_{i}\right)} \\ &=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{m_{i}+n_{i}} \\ &=\prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{m_{i}} \cdot \prod \limits_{i=1}^{\infty} p_{i}^{n_{i}} \\ &=a \cdot b \end{aligned} \)
Aus Satz \( 12.7 \) folgt insbesondere
\( \operatorname{kgV}(a, b)=\frac{a \cdot b}{\operatorname{gg} \mathrm{T}(a, b)}, \)
d.h. man kann den \( \mathrm{kgV} \) bestimmen, indem man zunächst mit dem Euklidividiert.
Beispiel. \( a=6930, b=1098 \). Wegen \( \operatorname{gg} \mathrm{T}(a, b)=18 \) gilt
\( \operatorname{kgV}(a, b)=\frac{a \cdot b}{18}=422730 . \)
Weitere Eigenschaft: Für \( a, b \in \mathbb{N} \) gilt (wegen \( x \in V(a) \cap V(b) \Longleftrightarrow \) \( \operatorname{kgV}(a, b) \mid x) \)
\( V(a) \cap V(b)=V(\operatorname{kgV}(a, b)) \)
