Wie beweise ich etwas mit Axiomen der reelle Zahlen. Bsp. -a^{-1} = (-a)^{-1}

Question

Hallo :)

Ich wolte mal fragen ob jemand weiß wie ich -a^-1 = (-a)^-1  beweise und dabei nur die Axiome der reelle Zahlen benutze....

Comments

Beweis z.B. so: Zuerst die Axiome anführen und nummerieren. Dann versuchst du mit Umformungen diese Gleichung zu zeigen. Bei jedem Schritt notierst du die Nummer des verwendeten Axioms. 

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Das habe ich schon versucht....komme aber nicht weiter. :/

Ich habe es mit folgenden axiomen versucht:

a ×a^-1 = 1    und (a^-1)^-1     und 1×a = a

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Sind das alle die ich anwenden muss?

Ich bekomme es damit einfach nicht umgeformt :(

Answer 1

Vielleicht so:

Mit x := -a ≠ 0 gilt 0 = a^-1·0·x^-1 = a^-1·(a + x)·x^-1 = a^-1·a·x^-1 + a^-1·x·x^-1 = x^-1 + a^-1.

Comments

Diesen Beweis kann ich leider nicht ganz nach vollziehen :( .... Kannst du vielleicht erklären wie du da drauf kommst?

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Welchen Schritt genau verstehst du hier nicht?

Dass man 0 mit beliebigen Zahlen multiplizieren darf und dann immer noch 0 herauskommt, ist z.B. (wohl) eines der Axiome....

Answer 2

Es gilt 1=1 und daher -a·1/(-a)= a·1/a und dann -a·1/(-a)= (-a)·(-1/).(Das Produkt zweier negativer Zahlen ist positiv).

Auf beiden Seiten durch -a ergibt 1/(-a)=-1/a. In anderer Schreibweise: (-a)^-1=-a^-1

Comments

Dein Pech, dass die Begriffe positiv und negativ in den Axiomen gar nicht vorkommen

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Ich glaube diesen Beweis darf ich leider noch nicht anwenden....,denn wir haben, glaube ich, noch nicht bewiesen, dass man, wie hier, durch -a teilen darf....

Gibt es noch eine andere Möglichkeit es zu Beweisen nur mit Hilfe der "Grund" -Axiome?