Axiome der reellen Zahlen. Zeigen Siem dass (-x)(-y) = xy

Question

Aufgabe
Zeigen sie dass (-x)(-y) = xy

(-x)(-y) = ( -x + 0) * ( -y + 0 )                                | 0 = x + y = x + z
            = ( -x + ( x + y ) ) * ( -y + ( x + y )  )          | Kommutativgesetz x+y = y+x

            = ( -x + ( x + y ) ) * ( -y + ( y + x )  )          | Assoziativgesetz
            = ( (-x + x) + y ) * ( (-y + y) + x  )              | Additives Inverses x + (-x) = 0 = y + (-y) 
            = ( 0 + y ) * ( 0 + x )                                  | Neutrales Element der Addition 0 : 0 + x = x, 0 + y = 0
            = yx


Hab ich das richtig angewendet ?

Comments

Das fehlt noch oben im Fragetext:

Weitere Frage (Ich weiss nicht wie weiter):

überprüfen Sie auch, dass -x ∈ℝx und

(-x)-1 = -(x-1) gilt falls x ∈ℝx ist.

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Wieso gilt 0=x+y?

Besser: Zeige zuerst, dass (-1)(-1)=1!

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Ich habe es aus den Folgerungen aus den Axiomen

Aus den Axiomen der Addition

- Nullelement

- Additives Inverses
- Assoziativgesetz
-Kommutativgesetz

Werden erste Folgerungen angestellt.

(a)...

(b) Das negative -x ∈ ℝ in R ist für jedes x ∈ ℝ durch die Eigenschaft
x+(-x) = 0
eindeutig bestimmt. 
Insbesondere können wir von der Additiven Inversen eines Elements sprechen und die Abbildung

-: x ∈ ℝ ↦ -x ∈ ℝ

ist wohldefiniert.

In der Tat, falls y,z ∈ ℝ zu x ∈ ℝ die Identität

x+y = x+z = 0 

erfüllen, dann gilt x=z.

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Sorry das war ein Fehler, ich sollte mit dem Multiplikativen Inversen etwas zeigen 

(-x)^-1 = -(x^-1) gilt falls x ∈ ℝ^x ist.


Nicht: (-x)-1 = -(x-1).

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In der Tat, falls y,z ∈ ℝ zu x ∈ ℝ die Identität

x+y = x+z = 0 

erfüllen, dann gilt x=z.

Das muss nicht erfüllt sein.

(-2)*(-3)=2*3

aber 2+3≠0

Answer 1

du kannst so vorgehen:

zeige zuerst, dass (-1)(-1)=1

Los gehts

+1-1=0 (Additiv inverses) |*(-1)

(-1)(+1-1)=0, da 0*x=0|links Distributivgesetz anwenden

(-1)(+1)+(-1)(-1)=0| links gilt (-1)(+1)=1,da +1 neutrales Element der Multiplikation

-1+(-1)(-1)=0|+1

(-1)(-1)=1

Damit gilt nun

(-x)(-y)=((-1)*x)((-1)*y)|Kommutativgesetz anwenden

=(-1)(-1)(xy)=1*(xy)=xy gemäß Vorarbeit