Axiome verwenden bei einer "Absolutgleichung"?

Question

Wie kann ich die Axiome der reellen Zahlen verwenden, um nachfolgende Gleichungen zu beweisen?
Ich müsste beweisen, dass:

a² = Ιa²Ι   und   a2 = ΙaΙ²

was ich zu Absolutbeträgen weiss, ist, dass
a2 ≥ 0
a  ≤ ΙaΙ
Ιa*bΙ = ΙaΙ * ΙbΙ
Ιa+bΙ ≤ ΙaΙ+ΙbΙ

Wäre das beim Ersten korrekt?:

a² = a*a = lal*lal = la*al = la²l

Irgendwie komme ich einfach nicht drauf, wie man solche Sachen lösen muss. Ich meine, die Antwort steht ja eigentlich schon da a² = Ιa²Ι - das ist ja richtig. Aber irgendwie habe ich noch so meine Mühe mit diesen Axiomen.

Besten Dank für mögliche Antworten.

Freundliche Grüsse
Scroogemacduck

Answer 1

Hi,

für eine reelle Zahl \(a\) ist \( a = |a|\) wenn \(a \geq 0 \).

a) \( a^2 \geq 0 \ \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow a^2 = |a^2| \ \forall a \in \mathbb{R} \)

b) \( a^2 = |a^2| = |a\cdot a| = |a| \cdot |a| = |a|^2 \quad \forall a \in \mathbb{R}\)

Gruß