Aufgabe: Beweis des Satzes 1.2.5. (vi)
Problem/Ansatz: Hallo, unser Thema ist aktuell der reelle Körper mit seinen Axiomen. Soweit habe ich die Axiome( algebraische Axiome und Anordnungsaxiome verstanden, doch dazu haben wir einige Sätze. Einer dieser Sätze ist der folgende:
Text erkannt:
Satz 1.2.5. Für reelle Zahlen \( a, b, c, d \) gilt:
(i) \( a+c<b+c \Rightarrow a<b \).
(ii) \( a<b \Leftrightarrow a-b<0 \)
(iii) \( a<0 \Leftrightarrow-a>0 \)
(iv) \( a<b \Leftrightarrow-a>-b \).
(v) \( a<b \) und \( c<d \Rightarrow a+c<b+d \)
(vi) \( a \cdot b>0 \Leftrightarrow \) entweder \( a>0 \) und \( b>0 \) oder \( a<0 \) und \( b<0 \)
(vii) \( a \cdot a>0 \forall a \in \mathbb{R} \) mit \( a \neq 0 . \) Insbesondere gilt \( 1>0 \).
Notation 1.2.6. Gilt für eine Zahl \( a \in \mathbb{R} \), dass \( a>0 \) (bzw. \( a<0) \), dann nennen wir a \( \underline{\text { positiv }} \) (bzw. negativ). Ein \( a \in \mathbb{R} \) mit \( a \geq 0 \) (bzw. \( a \leq 0) \) nennen wir nichtnegativ \( (\underline{b z w .} \) nichtpositiv).
Als Beispiel zeigen wir \( (v i) \). Wenn wir eine ,genau dann, wenn"-Aussage beweisen möchten, werden wir oft erst eine und danach die andere Richtung zeigen. Dies üben wir jetzt.
Beweis. Schritt 1: (Rückrichtung) Zu zeigen ist: Wenn \( a, b \) beide positiv oder beide negativ sind, dann ist das Produkt \( a \cdot b \) positiv.
Fall 1: Wir zeigen: Wenn \( a>0 \) und \( b>0 \), dann gilt \( a \cdot b>0 \). Da \( b>0 \) ist, schlieken wir aus \( 0<a \) und \( (\mathrm{O} 4) \), dass
\( \begin{aligned} 0 \cdot b<a \cdot b \\ (\mathrm{M} 1), \operatorname{Satz}_{1.2 .2 \mid(i)} & 0<a \cdot b \end{aligned} \)
Mein Problem ist das Folgende: Ich verstehe nicht, wie sich die Zeile: 0*b < a*b ergibt. Kann mir evtl. jemand bitte helfen?
