Funktion mit Axiomen beweisen

Question

Giten Abend,

ich haeb gereade folgende Aufgabe vor mir liegen und eigentlich weiß ich wie man die lösen kann aber nur mit der Ableitung:

Beweisen Sie: Die Funktion f:R+ → R+,f(x)= x^(−1) ist streng monoton fallend, aber g:R {0} → R {0},g(x)= x^(−1), ist weder monoton wachsend noch monoton fallend.


Ich hatte da smit der Abletung folgendermaßen gelöst gehabt:

f(x)= x^(−1) f′(x)=−x−2

z.z. f′(x)−x−2<0

⇒ die Funktion darf nie größer sein als Null

f′(x)=−x2<0 ist äquivalent zu −1x2<0 auf beiden seiten I ⋅x2
=−1<0 #

so hatte ich die Aufgabe bewiesen und abgegeben nun haben wir die Übung wieder zurück und der Tutor meint,
dass ich die Ableitung nicht anwenden darf und die aufgabe mit hilfe der Axiome beweisen muss und ich habe leider keine Ahnung wie das gehen soll.

hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Danke:-)

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Vom Duplikat:

Titel: Gleichung mit Axiomen beweisen

Stichworte: axiome,beweis,körperaxiome

Aufgabe:

Giten Abend,

ich haeb gereade folgende Aufgabe vor mir liegen und eigentlich weiß ich wie man die lösen kann aber nur mit der Ableitung:

Beweisen Sie: Die Funktion f:R+ → R+,f(x)= x^(−1) ist streng monoton fallend, aber g:R {0} → R {0},g(x)= x^(−1), ist weder monoton wachsend noch monoton fallend.


Ich hatte da smit der Abletung folgendermaßen gelöst gehabt:

f(x)= x^(−1) f′(x)=−x−2

z.z. f′(x)−x−2<0

⇒ die Funktion darf nie größer sein als Null

f′(x)=−x2<0 ist äquivalent zu −1x2<0 auf beiden seiten I ⋅x2
=−1<0 #

so hatte ich die Aufgabe bewiesen und abgegeben nun haben wir die Übung wieder zurück und der Tutor meint,
dass ich die Ableitung nicht anwenden darf und die aufgabe mit hilfe der Axiome beweisen muss und ich habe leider keine Ahnung wie das gehen soll.

hoffe ihr könnt mir weiter helfen. Danke:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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Kennst du die Definition der Monotonie?

R {0}

Was soll das bedeuten? Meinst du vielleicht R \ {0} ?

Answer 1

Die Funktion f:R+ → R+,f(x)= x^(−1) ist streng monoton fallend.

Bew. mit der Definition:

Für alle a,b ∈ R+ gilt:  a < b ==> f(a) > f(b)

zeigst du so: Seien a,b ∈ R+   mit   a < b

Wegen a,b positiv ist aauch 1/(ab) positiv und du kannst a<b

damit multiplizieren

                       a * 1/(ab) <  b * 1/(ab)

    <==>             1/b     <    1/a

  <==>             f(b)     <    f(a )    q.e.d.

Und für den 2. Teil einfach ein Gegenbeispiel:

Es ist   -1 < 1  also , müsste bei streng monoton fallend

                f(-1) >  f(1)   gelten. Tut es aber nicht.

und es ist  1 < 2 aber f(1) > f(2) also auch nicht

streng mon. steigend.

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Danke sehr:)