Stochastik Allergietest

Question

9% der Bevölkerung leiden an einer bestimmten Allergie. Ein Allergietest zeigt bei 90%
dieser Allergiker ein positives Resultat. Irrtümlicherweise reagiert er auch bei 0,9% der
Nichtallergiker positiv.
Eine zufällig ausgewählte Person wird getestet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit …
a) … erhält die Versuchsperson ein positives Resultat?
b) … ist sie – wenn der Test positiv ausfällt – trotzdem gesund?
c) … leidet sie unter der Allergie, obwohl der Test negativ ausfiel?

Answer 1

Mache eine Vierfeldertafel oder ein Baumdiagramm. Ich mache hier mal eine Vierfeldertafel

Answer 2

Hallo Selei,

a)  P("Test positiv") = P(P)  =  0,09 · 0,9 + 0,91 · 0,009  =  0,08919  =  8,918%

b)  Wahrscheinlichkeit von keine Allergie unter der Bedingung Test positiv:

     P(#A | P)  =  P(#A∩P) / P(P)  =  0,91 · 0,009 / 0,08919  ≈  0,09183  =  9,183 %

c)  Wahrscheinlichkeit von Allergie unter der Bedingung Test negativ:

     P(A | #P)  = P(A∩#P) / P(#P)

                     =  0,09 · 0,1  / (0,09 · 0,1 + 0,91 · 0,991) ≈ 0.00988 = 0,988 %

Gruß Wolfgang