Wie beweise ich nachfolgende Gleichung mit den Axiomen reeller Zahlen? Für alle x ∈ R gilt x≥ 0 ⇔ -x ≤ 0

Question

Ich soll nachfolgende Gleichung beweisen (mit Axiomen der reellen Zahlen):

Für alle x ∈ R gilt x≥ 0 ⇔ -x ≤ 0

Besten Dank für mögliche Antworten.

Freundliche Grüsse
Scroogemacduck

Answer 1

etwas axiomatischer formuliert:

x ≥ 0     wegen der Monotonie der Addition des additiven Inversen von x

x + ( -x)   ≥ 0  + (- x)        Bedeutung des Inversen

0      ≥  0  + (- x)           Bedeutung neutrales El

0      ≥  - x      ist äquivalent zu

-x  ≤  0                      q.e.d.

Comments

Herzlichen Dank für die rasche Antwort :).

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Könnten Sie mir auch aufzeigen, wie ich die Axiome mit Absolutbeträge mache?
Ich müsste beweisen, dass:

a² = Ιa²Ι   und   a2 = ΙaΙ²

was ich zu Absolutbeträgen weiss, ist, dass
a2 ≥ 0
a  ≤ ΙaΙ
Ιa*bΙ = ΙaΙ * ΙbΙ
Ιa+bΙ ≤ ΙaΙ+ΙbΙ

Irgendwie komme ich einfach nicht drauf, wie man solche Sachen lösen muss. Ich meine, die Antwort steht ja eigentlich schon da a² = Ιa²Ι - das ist ja richtig. Aber irgendwie habe ich noch so meine Mühe mit diesen Axiomen.

Wäre Ihnen sehr dankbar für eine Antwort.

Freundliche Grüsse
Scroogemacduck

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Wäre das beim ersten korrekt?:

a² = a*a = lal*lal = la*al = la²l

Answer 2

Müßte doch ganz einfach sein

x ≥ 0  | - x
0 ≥ -x
-x ≤ 0

Comments

Danke für die Antwort - aber ich darf bei den Axiomen ja nicht einfach eine Gleichung lösen.
Ich muss dies anhand von Axiomen beweisen. Oder welches Axiom ist -x rechnen?

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Dann bin ich überfragt.
Vielleicht ist die Antwort von mathef für dich
zutreffend.