Beweise mit Axiomen: a^2/b + b^2/a >= a+b

Question

a^2/b + b^2/a >= a+b Kann mir jemand helfen ?

Comments

Am besten gibst du die Axiome genau an. Du musst ja angeben, welches du benutzt.

Beispiel für das Vorgehen bei solchen Beweisen:

https://www.mathelounge.de/115493/beweis-ausgehend-von-den-axiomen-der-reellen-zahlen

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DIch finde leider keinen Ansatz .. Kannst du mir weiter helfen ?

Answer 1

Hi,

zuallererst hast du hier überhaupt keine Einschränkungen gegeben, womit die Aufgabe schonmal nicht vollständig ist. Damit die Ungleichung gilt muss \(a,b>0 \) gelten. Ansonsten findet sich ja leicht ein Gegenbeispiel.

O. B. d. A. nehmen wir an, dass \( a \leq b \) gilt. Jetzt einfach nur umformen

$$\begin{aligned} b^2 &\geq a^2 \\ \frac{b}{a} &\geq \frac{a}{b} \\ \frac{b}{a}(b-a) &\geq \frac{a}{b}(b-a) \\ \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} &\geq a+b\end{aligned} $$

Bitte in Zukunft vollständige Aufgabenstellung posten!

Gruß

Comments

Tut mir leid habe ich vergessen..

Aber nun verstehe ich nicht wie du so einfach drauf kommst? Werde aus dem Lösungsweg nicht schlau.. Die Annahme verstehe ich aber den Rest nicht so ganz ..

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Das sind doch nur (Un)Gleichungsumformungen. Gehe diese Zeile für Zeile durch und überlege dir welche Umformung stattgefunden hat. Dann schaust du in deine Unterlagen und guckst welches Axiom da verwendet wurde. Wenn du es wirklich selber verstehen möchtest musst du ein bisschen arbeit selber reinstecken, hast da aber mehr von, als wenn man dir jeden Schritt im Detail erklärt.