Zeigen Sie für beliebige reelle Zahlen folgende Rechenregeln: a^x b^x = (ab)^x und (1/a)^x = a^{-1}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie die Aussagen (iii) und (iv) von Satz 5 in Paragraph 12 der Vorlesung, d.h., zeigen Sie für beliebige reelle Zahlen \( x \) und positive reelle Zahlen \( a \) und \( b \) folgende Rechenregeln.

(iiii) \( a^{x} b^{x}=(a b)^{x} \)

(iv) \( \left(\frac{1}{a}\right)^{x}=a^{-x} \)

Answer 1

Wie habt ihr denn Potenzen mit reellen Exponenten definiert? Ich kenne die Definition \(a^x:=\exp(x\cdot \log(a))\) für alle \(a>0, x\in\mathbb{R}.\)

Mit der Definition aus deiner Vorlesung musst du dir aufschreiben, was \((ab)^x\) ist. Das kannst du dann umformen zu \(a^xb^x\).