Rechenregeln für Maximum, reelle Zahlen. Beweise: max(M + N) = max(M) + max(N)

Question

1. Beweise max(M + N) = max(M) + max(N).

Ich habe die Lösung zwar im Buch, aber da wird natuerlich alles "trivial" und deshalb nicht ausfuehrlich Bewiesen, deshalb versuche ich nochmal selber. Bitte kontrollieren.

Ich habe bereits bewiesen: (a) x∊M => x≤max(M).

Sind x∊M, y∊N, dann ist (a) x≤max(M), y≤max(N) also x+y ≤ max(M) + max(N) (das wurde schon bei den Anornungsaxiomen bewiesen). Aus der Definition habe ich M+N ≤ max(M) + max(N) (da x und y beliebige Elemente von jeweils M und N sind). max(M) + max(N) muss also größer oder gleich sein als das größte Element von M+N d.h. max(M+N) ≤ max(M) + max(N).

max(M)∊M, max(N)∊N (direkt aus der Definiton), das bedeutet also max(M) + max(N) ∊ M+N und (a) max(M) + max(N) ≤ max (M+N).

Wir haben insgesamt max(M+N) ≤ max(M) + max(N) und max(M) + max(N) ≤ max (M+N) also max(M) + max(N) = max (M+N).

2. Ich habe mal im Skrpt min{min M, min N} stehen. Es wurde nicht erklärt was diese {} bedeuten. Ich kenne sie nur aus der Mengenlehre, deshalb bitte ich um erklärung. Sie tauchen auch später beim Betrag.

Comments

max(M + N) = max(M) + max(N).

Sind denn M und N Mengen? (Endliche Mengen?) Wie ist dann M+N definiert? Die Menge aller Elemente, die sich als Summen von einem Element aus N und einem aus M bilden lassen?

max(M)∊M, max(N)∊N (direkt aus der Definiton), das bedeutet also max(M) + max(N) ∊ M+N und (a) max(M) + max(N) ≤ max (M+N).

Wir haben insgesamt max(M+N) ≤ max(M) + max(N) und max(M) + max(N) ≤ max (M+N) also max(M) + max(N) = max (M+N).

Scheint mir zu meiner 'Definition' zu passen.

min{min M, min N} 

Die Mengenlehrklammern passen hier bestens. Das kleinste Element der Vereinigung von M und N ist doch auch das kleinste der beiden kleinsten.

---

ad) min{min M, min N}

Also { und } sind schon Mengenklammern. Das passt schon. In diesem Fall bilde ich das Minimum einer Menge, was ja eigentlich eh der Standardfall ist. Aber ich glaub dich stört, wenn man es 100% Formal sieht, so müsste das so geschrieben werden:

min({min M, min N})

also einfach das Minimun der Minima von M und N

---

Diese Aussage würde ich nicht aus der Definition begründen "M+N ≤ max(M) + max(N)". Du hast ja bereits: "Sind x∊M, y∊N, dann ist (a) x≤max(M), y≤max(N) also x+y ≤ max(M) + max(N)" für beliebige x in M und y in N.

Aus dieser Aussage folgt sofort M+N≤max(M)+max(N)

---

also wenn "+" hier für "∪" stehen würde, dann wäre die Aussage ja schlicht falsch. Also würde ich annehmen, dass Lus Auffassung des "+" hier richtig ist und gemeint ist:

A + B ≡ {a + b ∈ ℝ: a ∈ A und b ∈ B}.

Die Überschrift deutet ja an A ⊂ ℝ, B ⊂ ℝ.

MfG

Mister

Answer 1

Ich schreib dir mal auf wie ich es machen würde. Ich geh jetzt einfach streng nach Definition vor. Ich weiß leider nicht wie du das max einer Menge bzw. die Summe 2er Mengen definiert hast, aber ich schreib dir gleich mal auf von was ich ausgegangen bin.

Definition Summe zweier Mengen

Definition Maximum einer Menge

 

Jetzt ist alles nur mehr nach Def einsetzen:

zz.:max(M+N)=max(M)+max(N)

mit der Bezeichnung z:=x+y und der Tatsache das z trivialerweise in M+N ist folgt die Aussage.

 

Lg Erik

Comments

Das Maximum einer Menge reeller Zahlen ist eine reelle Zahl und keine Menge.

---

Definition ist vll ungewöhnlich. Aber mathematisch ist da kein Fehler.

Ich hab extra nochmal meine Definition davon hingeschrieben damit man genau weiß wovon ich ausgehe und dazugeschrieben: "Ich weiß nicht wie er das definiert habe."  Wenn der Fragesteller sich das durchliest, kann er genau beurteilen ob das zu seiner Definition passt oder nicht.

Tut mir Leid, dass ich nicht DIE konventionelle Art benutzt habe.


Da es aber für die Menge gilt. Gilt es auch für alle Elemente dieser Menge und dann sollte es wieder passen (wenn ich mich nicht irre), auch für dich passen.

Also Vorausgesetzt das Maximum existiert, sonst ist der Beweis ja eh unnötig.

---

Du kannst die in einer Aufgabe verwendeten Begriffe nicht einfach nach Belieben umdefinieren. Wenn doch, stell sicher, dass sich die zu zeigende Aussage aus dem ergibt, was du gezeigt hast.

---

Ich hab extra die Definition dazugeschrieben. Und ich hab nicht mal was UMdefiniert, weil vom Fragesteller keine Definition gegeben wurde.

Ich gebe zu, es ist halt bei dieser Definition des Max dann wieder zu klären wie die Ordnungsrelation <= zu sehen wäre. (also weil der Fragesteller diese Ordnungsrelation verwendet hat.) Das hab ich ehrlich gesagt nicht beachtet, als ich die Antwort geschrieben hab, bzw. übersehen.

Aber wie bereits erwähnt, komm ich meiner Meinung nach wieder zurück auf den Beweis der alte Definition mit:

"Da es aber für die Menge gilt. Gilt es auch für alle Elemente dieser Menge und dann sollte es wieder passen (wenn ich mich nicht irre), auch für dich passen."

Es tut mir Leid, dass ich dir da zu frei in der konventionellen Begriffsgebung der Mathematik herumdefiniere.

Ich finde das ehrlich gesagt nicht schlimm, WENN man explizit hinschreibt um was es geht. Somit sollte sich jeder dann auskennen. Und wenn man einen andere Definition verwendet muss man halt schaun ob dies äquivalent ist. Oder, was ja durchaus auch so sein kann, dass mit der Definition nicht gearbeitet werden kann.


Ehrlich gesagt find ich das auch schön, dass man in der Mathematik so frei ist.

Ich versteh auch nicht warum du so viel Zeit aufwendest um auf diese Weise andere Leute zu kritisieren die helfen wollen. Ich will dir nicht abstreiten, dass du hier einer bist der in Mathematik weit besser drauf bist als andere. Oft bringst du so Kommentare, die nicht mehr aussagen als "die Lösung ist falsch". Warum schreibst du denn nicht eine Lösung zu dieser Frage oder schreibst was sinnvolles hin. Du könntest mir zum Beispiel  in dieser Aussage:

"Da es aber für die Menge gilt. Gilt es auch für alle Elemente dieser Menge und dann sollte es wieder passen (wenn ich mich nicht irre), auch für dich passen."

zustimmen oder sagen dass ist ein Blödsinn. Dann würde sich für später jeder auskennen, ob das so funktioniert oder nicht. Würd mich selbst über eine 2te Meinung diesbezüglich freuen.

Aber wir können auch gern noch jeder 10 solche Kommentare darunterschreiben, die keinen was helfen. Mir wärs anders lieber.

---

Eine Lösung schreibe ich deshalb nicht hin, damit der Fragesteller auch selbst noch etwas zu tun hat, anstatt einfach blind die vorgesetzte Lösung abschreiben zu können. Auch der, der die falsche Antwort gegeben hat, kann die richtige Lösung der Aufgabe oft noch als Übung gebrauchen.

Umgekehrt frage ich mich, wieso du überhaupt eine Lösung aufgeschrieben hast. Bis auf die ungünstig formulierte Ungleichung "M+N ≤ max(M) + max(N)" war die Lösung des Fragestellers nämlich vollkommen richtig. Anstatt eine Umdefinition des Maximums einer Menge reeller Zahlen vorzunehmen, hätte man ihm das übrigens bestätigen können.

---

Und warum bestätigst du ihm das nicht, wenn dir das so klar ist?

---

Stimmt, Herr Netzer, Ihre Kommentare wirken gelegentlich etwas eitel.

MfG

Delling

---

PS: Freunde der Freiheit, vergesst bitte nicht wählen zu gehen!

---

bin Österreicher, darf erst nächsten Sonntag :)

---

Ché macht's gut! :) Gute Kommentare...

---

Hier ist eine Hochrechnung der FAZ: http://www.faz.net/op900/event/bundestagswahl/live/#/live