Rechenregeln (Axiome) für reelle Zahlen: Beweise, dass ...

Question

...
1) (a<b)∧(c<d) ⇒a+c<b+d
   Wie beweise ich das denn mit den Axiomen? Ich meine es ist ja völlig logisch, warum das gilt.. aber der Beweis fällt mir etwas schwer. Nach O1 (totalordnung) ist ja klar, dass es ein a<b geben muss und ein c<d. Kann man dann einfach nach O4 folgenr, dass a+c<b+d? Oder fehlt da noch was?
(O4 ist Sind a; b; c ∈ R und gilt a ≤ b, so ist auch a + c≤ b + c.)

2) a≤b ⇔a^-1 ≥b^-1
auch wieder völlig logisch aber meiner Meinung nach schwer zu beweisen.
Ich habe jetzt erstmal aus
a≤b mithilfe der Körperaxiome folgendes gemacht:
⇒(nach K6) 1*a ≤ 1*b
⇒ (nach K7) (a*a^-1 ) *a ≤ (b*b^-1 )*b
Bringt mir das was? Und wie kann ich weitermachen?

Answer 1

Zum ersten:
(a<b)∧(c<d) ⇒a+c<b+d

a < b => a+c < b+c
Jetzt die zweite Bedingung auf der rechten Seite einsetzen und du hast die Aussage.

Comments

welche zweite Bedingung wenn ich blöd fragen darf? Sorry, stehe echt so brutal auf dem Schlauch...

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c<d, also c+b < d+b

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Okay also soll ich den Beweis dann quasi in zwei Teile aufteilen?
Also in

i) a<b => a+c < b+c
und
ii) c<d => c+b<d+b
und daraus folgern, dass die Aussage stimmt?

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So gehts auch.

i) a<b => a+c < b+c

ii) c<d => c+b<d+b

Also:

a+c < b+c < d+b