Welche der folgenden Behauptungen über die komplexe Zahlenfolge sind wahr?

Question

Welche der folgenden Behauptungen über die komplexe Zahlenfolge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) sind wahr? Begründen Sie jeweils Ihre Aussage.

(i) Falls \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert, so konvergiert auch \( \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

(ii) Falls \( \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert, so konvergiert auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} . \)

(ii)' Falls \( \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge ist, so ist auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Nullfolge.

(iii) Falls \( \left(\left|a_{n}\right|\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(\operatorname{Re} a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergieren, so konvergiert auch \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

(iv) Falls \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) konvergiert, so konvergiert auch \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right| \)

(v) Falls \( \sum \limits_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right| \) konvergiert, so konvergiert auch \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} . \)

(vi) Falls \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \operatorname{Re} a_{n} \) und \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \operatorname{Im} a_{n} \) konvergieren, so konvergiert auch \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \).

Answer 1

(i) kannst du sogar einfach mit der Dreiecksungleichung beweisen. Betrachte mal die Epsilon-Definition für a_n konvergiert. Jetzt benutze |a_n  |- |a| | <= |a_n - a| .  Hiermit lässt sich das relativ einfach zeigen .

(ii) Gegenbeispiel: (-1)^n . Der Betrag konvergiert gegen 1 . Ohne Betragsstriche gibt es zwei Häufungspunkte .

(ii)' Überleg doch mal. Bei |a_n| gibt es ja die Möglichkeiten ,dass ein Glied der Folge positiv oder negativ ist. Läuft der Betrag gegen 0 , was muss dann für die einzelnen Glieder gelten?

(iii) Müsste von der Art her wie (ii) sein. Versuche mal ein Gegenbeispiel zu finden.

(iv) und (v) : Wir hatten mal im Skript bewiesen: Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz . In die andere Richtung kann man jedoch nicht schließen. Also : Aus Konvergenz folgt absolute Konvergenz ist NICHT wahr .

(vi) Da kann man sich was einfaches per Majorantenkriterium basteln:
Summe (a) = Summe (Re a + Im a)  = Summe ( Re a) + Summe (Im a)

Summe (Re a) < ....

Summe (Im a) <...

Daraus folgt Summe(Re a + Im a ) < ...

Da kannst ja mal selber schauen .(Bei der letzten Abschätzung sollte man denke ich mal lieber mit absoluter Konvergenz arbeiten)

Ich garantiere nicht für Richtigkeit.

EDIT: Achso wichtig wäre auch noch, dass dieser Begriff "absolute Konvergenz " nur für Reihen existiert. Es handelt sich bei Folgen einfach nur um die Konvergenz des Betrages der Folge.