Berechnen Sie die Menge der Fixpunkte der Abbildungen. Bsp. t(z) = z+1+2i

Question

Aufgabe:

Zu einer Abbildung \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) heißt \( \{z \in \mathbb{C}: f(z)=z\} \) die Menge der Fixpunkte.

Berechnen Sie die Menge der Fixpunkte der folgenden Abbildungen:

\( \begin{array}{l} t: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad t(z)=z+1+2 \mathrm{i} \\ s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad s(z)=-\bar{z}+1 \\ r: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}, \quad r(z)=\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right) z \end{array} \)

Was ist die geometrische Interpretation dieser Abbildungen?

Definition: Ein Fixpunkt einer Funktion f:D_f -> W_f gibt an , wo ihr Funktionswert gleich dem zugehörigen x-Wert ist.

Ansatz/Problem:

Bei f(x) (x-2)^2 wäre dies ja nicht so schwer, da man lediglich die Klammer auflösen und mit der pq-Formel auflösen müsste.

Allerdings weiß ich nicht, wie das bei den komplexen Zahlen funktioniert.

Comments

Stelle die Gleichung auf und löse nach \(z\)....

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bei t(z) wäre das dann: z= -2i-1?

Wie bekomme ich bei s(z) den Strich über z weg?

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Du sollst nicht die Nullstellen berechnen. Lies dir lieber nochmal genau die Aufgabenstellung durch damit dir klar wird was für eine Gleichung du aufstellen sollst.

Answer 1

t: Fixpunkte?

z = 1+2i + z | -z

0 = 1 + 2i       Widerspruch. ==> t hat keinen Fixpunkt.

Anmerkung: Es handelt sich um eine Translation (Parallelverschiebung) mit dem Verschiebungsvektor 1 + 2i. 

s: z = -zQUER + 1

x + iy = -(x - iy) + 1 

x + iy = -x + iy + 1

2x = 1

x = 1/2

y beliebig. 

"Vertikale mit x=1/2" im Koordinatensystem ist die Fixpunktgerade dieser Abbildung. 

Geometrische Beschreibung der Abbildung: 

1. Spiegeln an der reellen Achse

2. Spiegeln am Ursprung

3. um 1 nach rechts verschieben. 

1. und 2. zusammen ergeben eine Spiegelung an der imaginären Achse (=Menge der Fixpunkte)

3. Verschiebung um 1 nach rechts sorgt dafür, dass sich die Spiegelungsachse bei x=1/2 liegt.

r ist ein Drehung um den Ursprung. Der einzige Fixpunkt ist z=0.

Comments

Danke schon einmal!

Was sind bei s(z) denn die Fixpunkte?

Und woher weiß ich, dass r(z) eine Drehung um den Ursprung ist?

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Bei s habe ich dir die Fixpunkte ja ausgerechnet und dann noch geometrisch erklärt.

Bei r solltest du einfach wissen, dass komplexe Multiplikation einer Drehstreckung um den Ursprung entspricht.

Da 1/2 + i√3/2 den Betrag 1 hat, ist das nur eine Drehung.

Ausrechnen? Ansatz

z = (1/2 + i√3) z       

klar?

Nun z bestimmen:

z = (1/2 + i√3) z       | -z

0 = (1/2 + i√3) z - z       

0 = (1/2 + i√3 -1) z  

0 = (-1/2 + i√3) z      

Da die Klammer nicht 0 ist, muss z = 0 sein.