Matrix von Spiegelung an einer Ebene. Fixpunkte?

Question

Aufgabe:

Durch die Matrix \(N=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\) wird eine Spiegelung an einer Ebene E beschrieben.

Bestimmen Sie eine Gleichung von E.

Ansatz:

Habe die Matrix mal den Vektor (x/y/z) genommen und habe heraus bekommen:

y=x

x=y

z=z

Was muss ich jetzt machen ? Freue mich auf Antwort. Gruß Maurice

Answer 1

Aloha :)

Deine Überlegungen sind korrekt, für die Spiegelung gilt \((x,y,z)\to(y,x,z)\). Damit kannst du \(3\) Punkte auswählen, die ihre Lage bei einer Spiegelung nicht ändern und daher in der Spiegelungsebene selbst liegen.$$(0,0,0)\to(0,0,0)\quad;\quad(0,0,1)\to(0,0,1)\quad;\quad(1,1,0)\to(1,1,0)$$Eine passende Ebenengleichung dazu lautet:$$E:\;\vec x=\lambda\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$$

Comments

Danke. Aber wie genau kommst du auf die Richtungsvektoren? Also ich weiß wie man es blidet, aber würde wissen wie du die Punkte herausgfunden hast.

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Aloha :)

Du hast 3 Punkte der Ebene:$$A(0,0,0)\;;\;B(0,0,1)\;;\;C(1,1,0)$$Die beiden Richtungsvektoren sind dann:

$$\vec u=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$$$$\vec v=\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)$$Die Ebenengleichung ist:$$E:\;\vec x=\vec a+\lambda\,\vec u+\mu\,\vec v$$

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Danke sehe es jetzt