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im Rahmen meiner Abi-Vorbereitungen bin ich gerade dabei einige Aufgaben zu lösen und komme leider nicht so gut voran. Die Aufgabenstellung ist : Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Der Graph G(f) der Funktion f verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat im Punkt P(1/1) einen Hochpunkt und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt. Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x). Mögliches Ergebnis: f(x)=1/7x³-9/7x²+15/7x

Danach muss man noch die Nullstellen der Funktion f berechnen. Dafür muss man ja erstmal eine Polynomdivision vornehmen, aber wie bekomme ich die Nullstelle raus, durch die ich den Bruch teilen soll?

ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

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Ich würde auch gerne wissen, wie man auf die Funktion f kommt. Wäre super, wenn mir das jemand erklären kann. :-)

2 Antworten

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Da der Graph durch den Ursprung verläuft, kennst Du schon eine Nullstelle und die Polynomdivision kannst Du bereits durch Ausklammern von \(x\) erledigen.
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 "Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Der Graph G(f) der Funktion f verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat im Punkt P(1|1) einen Hochpunkt und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt."

\(P(1|1)\) ist ein Hochpunkt

Ich verschiebe den Graph um eine Einheit nach unten \(P´(1|0)\) ist nun eine doppelte Nullstelle.

\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)

\(Q(0|0)\)→ \(Q´(0|-1)\)

\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N=-1\)   →\(a=\frac{1}{N}\)

\(f(x)=\frac{1}{N}*[(x-1)^2*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{N}*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]\)

\(f´´(x)=\frac{1}{N}*[2*(x-N)+(2x-2)+2x-2]\)

an der Stelle \(x=3 \)einen Wendepunkt:

\(f´´(3)=\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]\)

\(\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]=0\)  \(N=7\)   \(a=\frac{1}{7}\)

\(f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)\)

Nun eine Einheit nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)+1\)

Unbenannt.JPG

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Nullstellen:

\( f(x)= \frac{1}{7}  x³-\frac{9}{7} x²+ \frac{15}{7} x\)

\( \frac{1}{7}  x³-\frac{9}{7} x²+ \frac{15}{7} x=0   |*7\)

\(  x³-9 x²+ 15 x=0\)

Satz vom Nullprodukt:

\(  x*(x^2-9 x+ 15 )=0\)

\(  x_1=0\)

\(  x^2-9 x=-15\)

\(  (x-4,5)^2=-15+4,5^2=5,25  |\sqrt{~~}\)

1.) \(  x-4,5≈ 2,3 \)

\(  x_2≈ 6,8 \)

2.) \(  x-4,5≈ -2,3 \)

\(  x_3≈2,2 \)

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