"Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Der Graph G(f) der Funktion f verläuft durch den Ursprung des Koordinatensystems. Er hat im Punkt P(1|1) einen Hochpunkt und an der Stelle x=3 einen Wendepunkt."
\(P(1|1)\) ist ein Hochpunkt
Ich verschiebe den Graph um eine Einheit nach unten \(P´(1|0)\) ist nun eine doppelte Nullstelle.
\(f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)\)
\(Q(0|0)\)→ \(Q´(0|-1)\)
\(f(0)=a*(0-1)^2*(0-N)=-a*N=-1\) →\(a=\frac{1}{N}\)
\(f(x)=\frac{1}{N}*[(x-1)^2*(x-N)]\)
\(f´(x)=\frac{1}{N}*[(2x-2)*(x-N)+(x-1)^2]\)
\(f´´(x)=\frac{1}{N}*[2*(x-N)+(2x-2)+2x-2]\)
an der Stelle \(x=3 \)einen Wendepunkt:
\(f´´(3)=\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]\)
\(\frac{1}{N}*[2*(3-N)+(2*3-2)+2*3-2]=0\) \(N=7\) \(a=\frac{1}{7}\)
\(f(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)\)
Nun eine Einheit nach oben:
\(p(x)=\frac{1}{7}*(x-1)^2*(x-7)+1\)