Lineare Abbildung und Untervektorraum beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie den Satz \( 1.7 \) aus Kapitel \( 4 \mathrm{im} \) Skript:

Seien \( V \) und \( W \) Vektorräume, \( L: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung und \( U \subseteq V \) und \( Z \subseteq W \) Untervektorräume. Dann gilt \( L(U) \subseteq W \) und \( L^{-1}(Z) \subseteq V \) sind Unterverktorräume.

Answer 1

Untervektorraumaxiome prüfen:
z.B.  für L(U):
sind x,y aus L(U), dann gibt es a,b aus U mit L(a)=x und L(b)=y
dann ist wegen Linearität von L
L(a+b) = L(a) + L(b) = x + y .
weil U ein Unterraum ist, ist a+b aus U und damit ist
L(a+b) aus L(U) also x+y aus L(U).
Damit hast du schon mal:
Für je zwei Vektoren aus L(U) ist die SUmme auch aus L(U).
Nun noch so ähnlich  für jedes x aus L(U) und c aus dem Körper
c*x aus L(U).

etc. für L ^-1 (Z)