Aufgabe:
Finde eine Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) von stetigen Funktionen \( f_{n}:[0,1]-\mathbb{R} \), die punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert, aber unbeschränkt ist, d.h., so dass zu jedem \( c \in R \) ein \( n \in \mathbb{N} \) und ein \( x \in[0,1] \) existiert \( \operatorname{mit}\left|f_{n}(x)\right|>c \)
Zeige, eine Folge von beschränkten Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{n}}:[\mathrm{a}, \mathrm{b}] \rightarrow \mathbb{R} \) konvergiert genau dann gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \( f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} \), wenn
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[a, b]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0 \)
Untersuche die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto e^{\frac{x}{n}} \) auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz.
