Matrix und lineare Abbildungen. A=((2,-1),(-2,3))

Question

Aufgabe - Matrix und lineare Abbildungen:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine lineare Abbildung deren Matrix bei Verwendung der kanonischen Basis \( B_{1} \) die folgende Form hat: \( A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -2 & 3\end{array}\right) \)

a) Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von \( f \), wenn man auf beiden Seiten der Abbildung die Basis \( B_{2} \) mit den Vektoren \( \overrightarrow{v_{1}}=\vec{e}_{1}, \overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}} \) zugrunde legt.

b) Nehmen Sie umgekehrt an, dass \( A \) die Matrix einer Abbildung \( g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) bei beidseitiger Verwendung der Basis \( B_{2} \) ist und bestimmen Sie dazu die Matrixdarstellung von \( g \) für die kanonische Basis. Kommentieren Sie Ihren Lösungsweg.

Answer 1

zu a)
wenn alles mit der neuen Basis dargestellt wird, bedeutet ja dass mit der Koordinatenspalte (a;b),
 a*e1 + b*(e1+e2) = (a+b)*e1 + be2 gemeint ist, also um auf die "normalen" Koordinaten
zu kommen, erst mal  Matrix
1   1
0   1    
mal Spalte (a;b) zu rechnen ist.
Dann wird die gegebene Matrix mit dem Ergebnis davon multipliziert, also
2   -1          1   1      (a)
-2   3          0   1       (b)

gibt 

2a+b
b-2a

also (2a+b)*e1 + (b-2a)*e2   und das muss jetzt wieder durch die
neue Basis mit e1 und  e1+e2 ausgedrückt werden, gibt

-4a*e1    +  (b-2a)*(e1+e2)

also gesuchte Matrix

-4        0
-2        1

bei b) wenn sich a,b auf die kanonische Basis beziehen also ae1 + be2

ist das in der anderen Basis (a-b)e1 + b(e1+e2) also

2   -1               (a-b)
-2   3               (b)

=  (2a-3b ; 5b-2a) allerdings wieder auf die "neue Basis" bezogen, also

für die "normale" Darstellung noch ausrechnen

(2a-3b)e1 +( 5b-2a) *(e1+e2) =  2b*e1 + (5b-2a)*b also Matrix

0   2
-2  5

vielleicht nochmal nachrechnen, aber so ähnlich müsste es stimmen.