Mit dem Mittelwertsatz eine Ungleichung beweisen: Verständnis

Question

Hi, ich befasse mich momentan mit dem Mittelwertsatz(bei differenzierbaren Funktionen) und habe zu einer Aufgabe, die ich derzeit bearbeite, etwas in diesem Forum gefunden.  Leider blick ich noch nicht ganz durch...


Zu beweisen gilt:

e^x ≥ 1 + x wobei x ∈ [0,∞).

Was ich bisher habe:

Ich wähle f(x) = e^x im Intervall [0 ; x)

e^x₀ 
= (e^x - e⁰) / x - 0 
= (e^x - 1) / x - 0 
= (e^x - 1) / x 
= e^ε 
≥ 1, da x > ε > 0 gilt, weil x > 0 ist e^x - 1 ≥ x. 

=====> Der fett-markierte Bereich ist für mich leider nicht verständlich. 

Kurz zur Erinnerung:
e^x - 1) / x  = e^ε          / mal x
 (e^x - 1)   = e^ε  • x

Folgt ≥ 1 dadurch, dass 
e^x ≥ 1 + x    / - 1 
e^x -1 ≥ x      / ersetzen von e^x -1  durch e^ε • x 
e^ε • x  ≥ x    / teilen durch x 
e^ε  ≥ 1
?

Darf man dann daraus folgern, dass e^ε • x  ≥ 1 • x gilt und somit folgt
e^ε • x  ≥ 1 • x     / ersetzen von  e^ε • x durch e^x -1
e^x -1  ≥ 1 •  x    / + 1
e^x ≥ 1 •  x + 1
? 


Liebe Grüße
Robin

 

Answer 1

Kurz zur Erinnerung:
e^x - 1) / x  = e^ε          / mal x
 (e^x - 1)   = e^ε  • x
und wenn du nun weisst, dass   e^ε   ≥ 1 gilt
und das ist so, weil e^x streng monoton steigt und e^0 = 1
und x ≥ 0 ist
dann kannst du doch statt   e^ε  einfach die 1 nehmen und hast

 (e^x - 1)   ≥ 1 • x
also
 e^x   ≥ 1 • x + 1    q.e.d.

Comments

Vielen Dank, habe es verstanden