Betrachte $$ |f(x)-f(y)|$$ Setze Intervallgrenzen ein:
$$=|\sqrt{1+x}-\sqrt1| $$ Nach dem MWS gibt es ein k aus dem Intervall s.d.:
$$=\frac{1}{2\sqrt k}|(1+x)-1|$$
Da k mindestens 1 sein kann, folgt:
$$\leq\frac{1}{2}x$$
Insgesamt haben wir:
$$\sqrt{1+x}-1\leq\frac{1}{2}x$$
+1 auf beiden Seiten addiert, folgt die Beh.