Mit Mittelwertsatz Ungleichung e^x ≥ 1+x beweisen.

Question

 4. (Mittelwertsatz) Zeigen Sie mit Hilfe des Mittelwertsatzes, dass
$$ \mathrm{e}^{x} \geq 1+x, \quad \text { für alle } x \in \mathbb{R} $$

Ich bräuchte bitte hier helfe bei den Aufgaben

Comments

f(x)=e^x  intevall [ 0 , x ]

e^x0 = e^x - e⁰ / x = e^x -1 / x - 0 = e^x ≥ 1 weil 0 < x gilt wegen x > 0 ist e^x -1 ≥ x.

ist es so richtig?

Answer 1

Ich würde es ein klein wenig anders formulieren:

f(x)=e^x   x im intevall [ 0 , unendlich ] = I

Mittelwertsatz sagt:   es gibt ein z aus I mit   (e^x -1 )/ (x - 0) = e^z   und e^z ≥ 1, da z aus I.
also     (e^x -1 )/ (x - 0)   ≥ 1
               e^x - 1 ≥ 1* x     ( da x nicht negativ ! )
               e^x   ≥ 1* x   + 1 
x im Intervall  [ - unendlich ; 0 ] = J
  Mittelwertsatz sagt:   es gibt ein z aus J mit   (e^x -1 )/ (x - 0) = e^z   und  0 ≤ e^z  ≤1, da z aus J
also       (e^x -1 )/ (x - 0)   ≤  1
                     e^x - 1  ≥ 1* x     ( da x  negativ ! )
                 e^x   ≥ 1* x   + 1

Answer 2

$$e^x-1=e^x-e^0=\ldots$$

Comments

Kannst du das bitte genauer erklären oder was du da gemacht hast?

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Hast mit dem bisher aufgeschriebenen irgendwelche Probleme? Wenn nicht, dann wuerde ich jetzt auf den letzten Ausdruck den Mittelwertsatz anwenden, so wie es der Aufgabensteller vorschlaegt.

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ja ich habe mit dem bisher geschrieben Probleme

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Wenn Du mit der Gleichung \(e^x-1=e^x-e^0\) Probleme hast, bzw. auf den zweiten Term den Mittelwertsatz nicht anwenden kannst, dann kann Dir hier nur schwer geholfen werden. Natuerlich wird Dir aber bestimmt noch jemand eine vollstaendige Lösung zum Abschreiben auf einem silbernen Tablett servieren. Unten, bei "Aehnliche Fragen", ist sogar schon was verlinkt.

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f(x)=e^x  intevall [ 0 , x ]

e^x0 = e^x - e⁰ / x = e^x -1 / x - 0 = e^x ≥ 1 weil 0 < x gilt wegen x > 0 ist e^x -1 ≥ x.

ist es so richtig?