Wie funktioniert die Umstellung von 2*integral sin(x)*e^x nach sin(x)*e1x-cos(x)*e^x

Question

Ich kann stammfunktionen prima bilden kein ding. aber dieses problem hab ich schon seit längerem und keiner kann es mir so richtig erklären wie es funktioniert. magie schließe ich aus.

2*∫sin(x)*e^x = sin(x)*e^x-cos(x)*e^x

verstehe die umstellung nicht durch die das intergal verschwindet, wenn ich es rechne integriere ich mich zu tode. wäre seeehr dankbar für verständliche und vielleicht auch umfangreiche antworten

Comments

Alle wichtigen Beispiele der partiellen Integration in einem Song.

Auch der sogenannte Phönix.

Answer 1

Integriere zweimal partiell mit gleicher Rollenverteilung:
$$ \int \sin(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x = \\\,\\ \sin(x)\cdot\text{e}^x - \int \cos(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x = \\\,\\ \sin(x)\cdot\text{e}^x - \left(\cos(x)\cdot\text{e}^x - \int -\sin(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x \right) = \\\,\\ \sin(x)\cdot\text{e}^x - \cos(x)\cdot\text{e}^x - \int \sin(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x. $$

Betrachte nun die Gleichheit des ersten mit dem letzten Term:
$$ \int \sin(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x = \sin(x)\cdot\text{e}^x - \cos(x)\cdot\text{e}^x - \int \sin(x)\cdot\text{e}^x\,\text{d}x. $$

Stelle diese Gleichung nach dem gesuchten Integral um.

Comments

danke danke danke danke bei mir ist grade eine seeehr große mathelampe angegangen. ich hab nicht im traum dran gedacht, dass ich die linke seite immer noch benutzen darf. die empfand ich als unantastbar. nochmal vielen dank jetzt geht das ganze hier viel leichter. :)