Beweis für Ring R. Lineare Algebra. 1+yx € R*. Zu zeigen: 1 + xy € R.

Question

Aufgabe:

Sei \( R \) ein Ring, \( x, y \in R \) mit \( 1+y x \in R^{*} \). Zeigen Sie: \( 1+x y \in R \).

Hinweis:

\( (1+x y)^{-1}=1-x(1+y x)^{-1} y \)

Comments

Gilt das nicht für alle \(x,y\in R\) ?

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heißt R* alle die ungleich 0 sind

oder alle, die ein multiplikatives Inverses haben ?

Answer 1

In der Aufgabenstellung ist sicher ein Fehler, es muss wohl heißen:

Zeigen Sie: \(1+xy\in R^*\); denn \(1+xy\in R\) ist trivial.

Es muss also gezeigt werden, dass \((1+xy)^{-1} \in R\) ist.

Wenn wir zeigen, dass die rechte Seite des Hinweises das Inverse von \(1+xy\) ist und zudem in \(R\)

liegt, ist das bewiesen. Nun rechnet man:

\((1-x(1+yx)^{-1}y)(1+xy)=1+xy-x(1+yx)^{-1}(y+yxy)=\)

\(=1+xy-x(1+yx)^{-1}(1+yx)y=1+xy-xy=1\)

Dass die rechte Seite des Hinweises in \(R\) liegt, ist klar.