f(x) = (x^2-9)/ (IxI-a). Für welche Werte von a ist f stetig? zeigen?

Question

Ich hab folgende Aufgabe

Für welche a € R , ist die Funktion (x^2-9)/ (IxI-a) Stetig?

Also das ist ein Bruch: im Zähler steht x hoch 2 minus 9

Und im Nenner Betrag von x  minus a.

Wie mach ich das jetzt, weil x kann ja im Prinzip jede Zahl sein, wie bestimmte ich a ?

Comments

EDIT(Korrigierte Version gemäss Antwort von Nick. unten): Hier etwas zu den Definitionslücken:

Für a <0 ist ( |x| -a) nie 0. Daher hat f keine Definitionslücke.

Für a≥0 hat f mindestens eine Definitionslücke.

Du schreibst in der Überschrift "zeigen". Sollst du das dann auch noch beweisen? Wenn ja: Bitte angeben, welche Sätze zu Stetigkeit ihr schon bewiesen habt.

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Das ist die komplette Fragestellung.

Nein ist aus einem ana 1 Test. Und nein hab die losung.noch nicht

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und mit polstellen hat das sicherlich nichts zu tun, weil wir die noch nicht hatten!

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Alle anderen Experten jetzt bitte weghören und wegsehen.

Ich hab folgende Aufgabe 

Für welche a € R , ist die Funktion (x²-9)/ (IxI-a) Stetig?

Also das ist ein Bruch: im Zähler steht x hoch 2 minus 9
Also ist der Zähler stets stetig

Und im Nenner Betrag von x  minus a.
Eine Division durch 0 ist nicht erlaubt.
Also muß
| x | - a ungleich 0 sein
Dies muß ausgeschlossen werden durch:
| x | - a <> 0
| x | <> a

Da | x | stets positiv gilt : falls a < 0  ist die Aussage
| x | <> a stets richtg:

Für a > 0 ist sie stetig außer an den Stellen bei denen
| x | = a und somit der Nenner 0 wird.

Mehr brauchen wir glaube ich nicht zu machen.

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alles klar, denke so stimmt es nun auch. Herzlichen Dank. Die  Beiträge haben mich total verwirrt.

Answer 1

georgs Antwort und Lu's Kommentar sind falsch!

Die Funktion ist für alle \(a\) auf ihrem maximalen Definitionsbereich stetig. Stetigkeit kann man nur an Stellen untersuchen, an denen die Funktion auch definiert ist.

Comments

Richtig! Danke. - ist oben korrigiert.

Ich hatte da die Definitionslücken im Auge. Aber die sind bei der Stetigkeit gar nicht von Interesse. https://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Definitionen

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Danke Nick :)

Es kann natürlich sein, dass der Fragesteller den Zusatz "auf ganz \(\mathbb{R} \) stetig" vergessen hat, aber dann hast du immer noch Recht was das "falsch sein" betrifft, denn es wurde bisher der Fall \( a = 3 \) in Bezug auf Definitionslücken nicht beachtet.

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Da habe ich vor ein paar Sekunden unter Georgs Antwort einen Kommentar geschrieben. ;)

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Haha sehr geil was ein Timing ;)

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Yakyu: Bei a=3 ist die Definitionslücke allenfalls hebbar, aber nicht von vorherein weg, nehm ich doch mal an.

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Ja Lu das ist schon korrekt deswegen die Anführungszeichen :)

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georgs Antwort und Lu's Kommentar sind falsch!

Die Funktion ist für alle a auf ihrem maximalen Definitionsbereich stetig.
Stetigkeit kann man nur an Stellen untersuchen, an denen die
Funktion auch definiert ist.

Aufgrund des vom Fragesteller verwendeten Deutschs und der
verwendeten Formulierungen habe ich den Eindruck es müsse
diesem nicht in voller akademischen Strenge geantwortet
werden.

Siehe meinen Kommentar in meiner Antwort an den Fragsteller.

Answer 2

Hi, ich fasse den Definitionsbereich des Terms als Definitionsbereich der Funktion auf. Dann ist
$$ f_a(x) = \frac { x^2-9 } { \left|x\right|-a } = \frac { \left(\left|x\right|+3\right)\cdot\left(\left|x\right|-3\right) } { \left|x\right|-a } \text{ mit } \left|x\right|\ne a.$$

Offensichtlich

sind alle \(f_{a<0}\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig,

hat \(f_{a=0}\) mit \(x=0\) eine Polstelle und ist in \(\mathbb{R\setminus\left\{0\right\}}\) stetig,

ist \(f_{a=3}\) an \(x=-3\) und \(x=3\) stetig hebbar und in \(\mathbb{R\setminus\left\{-3, +3\right\}}\) stetig

und es besitzen \(f_{a>0 \,\land\, a\ne 3}\) mit \(x=-a\) und \(x=+a\) zwei Polstellen und sind in \(\mathbb{R\setminus\left\{-a,+a\right\}}\) stetig.

Ich bitte um Hinweise, sollte ich etwas übersehen haben.

Comments

Perfekt zusammengefasst. ;)

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Eine sehr schön differenzierte Ausarbeitung.
Ich kann keinen Fehler entdecken.

Answer 3

f ( x ) = ( x² - 9 ) /  ( I x I- a )

Nicht stetig ist die Funktion falls der Nenner 0 wird.

I x I - a = 0
I x I = a

I x I ist positiv oder null , also muß a auch >= 0 sein.

Antwort :
Für ( a ≥ 0 )  ist die Funktion in  ( I x I = a ) unstetig ( Postelle ).

Beispiel
a = 2  => in  ( x = 2 ) und ( x = -2 ) ist die Funktion unstetig.

~plot~ ( x^2 - 9 ) / ( abs(x) -2 ) ; x =-2 ; x = 2 ; [[ -5 |5| -10 | 20 ]]  ~plot~  

Comments

Was ist eine Postelle ?

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Für \(a=3\) hat die Funktion keine Polstellen, sondern hebbare Definitionslücken.

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@Fragesteller

Deine Frage war

Für welche a € R , ist die Funktion (x²-9)/ (IxI-a) Stetig?

Wie du an meiner Antwort und an der Skizze sehen kannst ist
deine Funktion nicht ohne abzusetzen zu zeichnen.
" Nicht ohne Abzusetzen zu zeichnen ist eine einfache
Beschreibung für nicht vorhandene Stetigkeit "

Bei x = -2 und x = 2 mußt du mit dem Zeichnen absetzen und
es woanders weiterführen.

Was die anderen Antwortgeber und Kommentatoren meinen ist.
Wenn man zuvor den Definitionsbereich der Funktion untersucht
ist dieser

f ( x ) =  ( x² - 9 ) / ( I x I - a )
D = ℝ ohne ( I x I - a ) = 0
oder
D = ℝ \ {  I x I = a }

Damit haben wir die Funktion in 3 ( Teil- )  Bereiche
aufgeteilt in denen die Funktion stetig ist.

Ich hoffe meine Antwort hat dir weitergeholfen.
Der Fall a = 3 wäre noch weiter zu erörtern.

Falls du Fragen hast dann bitte wieder melden.

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bin total verwirrt jetzt, kann mir jemand jetzt konkret die werte für a nennen, für die die Funktion stetig ist. danke

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Wie diskutiert, hättest du angeben müssen, wo denn deine Funktion stetig sein soll.

Unabhängig von a ist f überall stetig, wo f definiert ist.

Du hättest da wirklich alles angeben müssen, was in der Fragestellung steht.

Vielleicht also noch ein "auf ganz R" oder so.

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@fragesteller

Ich hab folgende Aufgabe 

Für welche a € R , ist die Funktion (x²-9)/ (IxI-a) Stetig?

meine Fragen an dich :

Woher hast du die Aufgabe ? Schulbuch ?
Ist dies der gesamte Fragetext ?
Sind Lösungen angegeben.
Ist die Aufgabe bereits im Unterricht besprochen worden ?
Was waren die Ergebisse ?

@an die anderen Kommentatoren bezüglich des Def - Bereichs
Nenner : | x | - a
Für a < 0  : keine Einschränkung des Def-Bereichs.
für a ≥ 0 : Ausschluß von   I x I = a  aus dem Def-Bereich.

Die Funktion ist dann im Def-Bereich stetig.

Es wird im Aufgabentext zudem die Frage gestellt :
Gib, falls vorhanden, Polstellen an.

Antwort : die Funktion hat keine Polstellen, da die
Polstellen nicht mehr im Def-Bereich liegen.

Was ist dazu zu sagen ?

für a ≥ 0 gilt :
Ohne Einschränkung im Def-Bereich :
Nicht stetig  und hat Polstellen
Mit Einschränkung im Def-Bereich :
Stetig  und hat keine Polstellen

Was ist eure Meinung ?

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"Antwort : die Funktion hat keine Polstellen, da die
Polstellen nicht mehr im Def-Bereich liegen."
Polstellen sind per Definition Definitionslücken. Das stimmt also nicht; für \(a>0, a\neq 3\) hat die Funktion Polstellen.

"für a ≥ 0 gilt :
Ohne Einschränkung im Def-Bereich :
Nicht stetig  und hat Polstellen"
Ohne eine Einschränkung des Definitionsbereiches macht diese Funktionsdefinition überhaupt keinen Sinn, d.h. diese Aussage macht so auch keinen Sinn.

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Ohne eine Einschränkung des Definitionsbereiches macht diese
Funktionsdefinition überhaupt keinen Sinn, d

Sehe ich nicht so. So eine Diskussion hatten wir schon einmal.
Das Ganze lief dann auf die sogenannte " Grundmenge " hinaus.

Die Funktion in der Grundmenge ℝ hat die und die Eigenschaften.
In der Definitionsmenge halt andere.

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In der Grundmenge \(\mathbb{R}\) ist das überhaupt keine Funktion.
Eine Funktion auf \(\mathbb{R}\) muss jeder reellen Zahl genau eine reelle Zahl zuordnen. Den Zahlen \(a\) und \(-a\) wird aber keine Zahl zugeordnet (zumindest für \(a\geq 0\)).

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Ich schlage dir vor, ohne dir natürlich Vorschriften machen zu wollen, wir beschäftigen
und mit der Antwort von jd139. Dies scheint mir doch gehaltvoller zu sein.

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@Fragesteller

Die Antwort von jd139 erfreut sich allgemeiner Beliebheit
und dürfte zu Beantwortung deiner Frage zutreffend sein.

Falls du Fragen hast dann bitte wieder melden und deine
Frage möglichst exakt formulieren.