Beweisen Sie die Gleichung für alle IxI<1

Question

Beweisen Sie: Für alle x ∈ R mit IxI<1 gilt die Gleichung


\( \frac{e^x}{1-x^2} \) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{   (\sum\limits_{k=0}^{n}{  \frac{1+(-1)^k}{2} * \frac{1}{(n-k)!}     }} \))*xⁿ

Comments

Bekanntlich ist \(\displaystyle\mathrm e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}x^n\) und \(\displaystyle\frac1{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1+(-1)^n}2x^n\).
Bilde das Cauchy-Produkt.

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Erstmal danke für den Tipp.

Ich bin jetzt bei  \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{  \sum\limits_{k=0}^{n}{  \frac{1+(-1)^k}{2} *x^n * \frac{x^n-k}{(n-k)!}  }    } \)

jetzt muss ich im letzten Schritt noch das ^-k wegbekommen... haben sie da einen Tipp?

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Andere Frage... darf ich das Cauchy Produkt überhaupt benutzen ??

Müssen beim CauchyProdukt nicht beide Reihen Absolut konvergent sein ?

und die Reihe von 1/1-x^2 ist doch nicht absolut konvergent?

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Das erste \(x^n\) muss \(x^k\) heißen. Damit ist \(x^k\cdot x^{n-k}=x^n\).

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Ahhhh, Fehler gefunden. Danke!

Aber darf ich das Cauchyprodukt trotzdem benutzen? \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^2n} \) ist ja nicht absolut konvergent

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Die Reihe \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^{2n}\) hat keine negativen Summanden. Wenn die Summe konvergiert, dann konvergiert sie auch absolut.

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Ach na klar... es gilt ja IxI<1... dann funktionierts natürlich. Mein Fehler.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Hallo

da (1-x^2)≠0  multipliziere die Summe damit und vergleiche dann mit der Taylorreihe von e^x

Gruß lul

Comments

In der Vorlesung hab ich Talyorreihe so noch nicht gehört...

Wir haben allerdings exp(x):= \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{x^n/k!} \)...

Aber ich komm da irgendiwe trotzdem nicht weiter..