Anfangswertproblem aperiodischer Grenzfall

Question

Aufgabe:

Lösen Sie dieses Anfangswertproblem für den aperiodischen Grenzfall:

\( x^{\prime \prime}+2 \gamma x^{\prime}+\gamma^{2} x=0, \quad x(0)=A, \quad x^{\prime}(0)=v \quad \text { mit } A, v \in \mathbb{R} \)

Zu welchem Zeitpunkt \( t \in[0, \infty) \) wird der maximale Ausschlag jeweils erreicht? Wie groß ist der maximale Ausschlag, falls \( A=0 \) bzw. falls \( v=0 \) ist?

Answer 1

Das charakteristische Polynomal ist  $$r^2+ 2 \gamma r+ \gamma^2=0$$

$$\Delta=4 \gamma^2-4 \gamma^2=0$$

$$r=-\frac{2 \gamma}{2}=-\gamma$$

Also hat die Lösung die folgende Form:

$$x(x)=c_1 e^{-\gamma x}+ c_2 x  e^{-\gamma x}$$

Hilft dir das weiter?