y'' + ay' + 4y = 0, y(0) = 5, y'(0) = −1 aperiodischer Grenzfall a>0

Question

Eine gedämpfte Schwingung ohne Anregung sei modelliert durch

y'' + ay' + 4y = 0, y(0) = 5, y'(0) = −1.

Bestimme den Parameter a > 0 so, dass gerade der aperiodische Grenzfall eintritt, und berechne die Lösung für diesen Fall. Stelle den zeitlichen Verlauf der Schwingung graphisch dar

Answer 1

Hallo,

y'' + ay' + 4y = 0, y(0) = 5, y'(0) = −1.

->Charakt. Gleichung:

k^2 +ak +4=0

k_1.2= -a/2 ± √ ((a^2/4) -4)

aperiodische Grenzfall : Diskriminante (Term unter der Wurzel)=0

(a^2/4) -4 =0

a_1.2= ± 4 , da   a>0 ist ---->Lösung a= 4

-->

y'' + 4y' + 4y = 0, y(0) = 5, y'(0) = −1

k^2 +4k +4=0

k_1.2= -2

\( y(x)=C_{1} e^{-2 x}+C_{2} e^{-2 x} x \)

Die AWB in die Lösung eingesetzt:

y(0)=5 :      y = C₁ e^(-2x) +C₂ e^(-2x) x -> C₁=5

y'(0) = −1 : y'=-2 C₁ e^(-2x) +C₂(e^(-2x) -2 e^(-2x) x) -->C₂=9

-> y = 5 e^(-2x) +9 e^(-2x) x

\( y(x)=e^{-2 x}(9 x+5) \)