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Teil a: Indirekter Beweis, dass die Wurzelfunktion in \( \mathbb{R}^{+} \) streng monoton wachsend ist
Um zu beweisen, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, nehmen wir das Gegenteil unserer zu beweisenden Aussage an und zeigen, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt. Für die Wurzelfunktion besagt unsere Zielsetzung: Wenn \( 0 < a < b \), dann \( 0 < \sqrt{a} < \sqrt{b} \).
Annahme (das Gegenteil): Es existieren \( a, b \in \mathbb{R}^{+} \) mit \( 0 < a < b \), aber \( \sqrt{a} \geq \sqrt{b} \).
Beweis des Widerspruchs:
1. Von der Annahme ausgehend, haben wir \( \sqrt{a}^2 \geq \sqrt{b}^2 \).
2. Dies vereinfacht zu \( a \geq b \).
Da \( a \geq b \) dem ursprünglich angenommenen \( 0 < a < b \) widerspricht, muss unsere Ausgangsannahme falsch sein. Daraus folgt, dass für jedes \( a, b \in \mathbb{R}^{+} \) mit \( 0 < a < b \) tatsächlich \( 0 < \sqrt{a} < \sqrt{b} \) gilt, was zeigt, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist.
Teil b: Beweis, dass das geometrische Mittel nie größer als das arithmetische Mittel
Um zu zeigen, dass \( \sqrt{a \cdot b} \leq \frac{a + b}{2} \) für beliebige \( a, b \in \mathbb{R}^{+} \) gilt, gehen wir wie folgt vor:
Betrachten wir die Ungleichung \( ( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2 \geq 0 \), da das Quadrat einer reellen Zahl immer größer oder gleich Null ist.
Dies führt zu \( a - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \geq 0 \), was umgeformt werden kann zu \( a + b \geq 2\sqrt{a}\sqrt{b} \).
Teile beide Seiten durch 2, erhalten wir \( \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b} \).
Dies zeigt, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß ist wie das geometrische Mittel.
Teil c: Verallgemeinerung zum Vergleich des geometrischen Mittels mit dem arithmetischen Mittel
Für die Verallgemeinerung \( \sqrt[k]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{k}} \leq \frac{a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{k}}{k} \), nutzen wir eine ähnliche Argumentation und den Satz des arithmetischen und geometrischen Mittelwerts.
Erklärung des Satzes:
Der Satz "unter allen k-Tupeln mit einem festen arithmetischen Mittel \( a \), kann das geometrische Mittel nicht maximal sein, wenn nicht alle \( a_{i} \) gleich sind", bedeutet, dass die Ungleichung am stärksten (d.h. als Gleichung) gilt, wenn alle \( a_{i} \) identisch sind. Jede Abweichung von dieser Homogenität (wenn also die \( a_{i} \) differieren), mindert das geometrische Mittel, ohne das arithmetische Mittel zu ändern. Dies nutzt die Tatsache, dass die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel am ausgewogensten ist, wenn alle Terme gleich sind – eine fundamentale Eigenschaft dieser Ungleichung.
