Ist die Funktion harmonisch:

Question

Ich muss prüfen ob mehrere Funktionen u_i(x,y) harmonisch sind auf B₁(0) := { x Element R^2 |x| < 1 }.
Ich weiß leider nicht, wie ich an die Aufgabe heran gehen soll.
Ich habe z.B.

u(x,y) = x/ (x^2+y^2)


Als Hinweis wurde die Mittelwerteigenschaft gegeben.

Also muss ich nur überprüfen, ob die Mittelwerteigenschaft erfüllt ist und , weiß dann direkt, dass die Funktion harmonisch ist bzw. nicht harmonisch?

Answer 1

Ja aus der Mittelwerteigenschaft folgt direkt dass die Funktion harmonisch und glatt ist.

Alternativ kannst du die Eigenschaft harmonisch bei deiner angegeben Funktion überprüfen, wenn du den Laplace-Operator bezüglich Polarkoordinaten benutzt (ist einfacher mit den Ableitungen).

Comments

Wie meinst du das mit dem Laplace-Operator?
Also bei der Funktion oben kann ich ja einfach mit Mittelwerteigenschaft zeigen, dass u(0) gleich u(0) nach Mittelwerteigenschaft ist.

Bei:
u(x,y) = e^x sin(y)
kann ich das mit der Mittelwerteigenschaft nicht so gut anweden, da ich dann e^{cos(t) * sin(sin(t))} integrieren muss.

Reicht es jetzt also 2 mal nach x und 2 mal nach y abzuleiten und die Ableitungen zu addieren und zu überprüfen ob das dann = 0 ist für alle x,y ?

Also ist der Laplace-Operator= e^x*sin(y) + (e^x* (- sin(y))) =  0 und damit die Funktion harmonisch?

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Für alle x,y in B1(0) meinst du? Ja

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Ja, wenn es für alle x,y ist, dann auch für alle in B1(0) deswegen habe ich das rausgelassen.

Danke :)

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Noch ein Zusatz:

u(x,y) = x^2*y^2  / ((1+x^2+y^2)^2)

Der Beweis mit dem Laplace Operator bietet sich jetzt nicht so sehr an.

Wenn ich es mit der Mittelwerteigenschaft versuche, erhalte ich:

u(0) =Integral von 0 bis 2PI von ( 1/4 * sin^2*cos^2)

Gibt es da einen leichteren Weg?

Answer 2

Ich verweise auf meinen Kommentar unter deinem Link

https://www.mathelounge.de/246608/zeige-funktion-ist-harmonisch-auf-b_-1-0