Den Koeffizienten von x^3*y^5*z^7 im Trinom (x+y+z)^15 bestimmen

Question

folgende Aufage:

 Bestimmen Sie den Koeffizienten von x^3*y^5*z^7 in (x+y+z)^15.

Mein Ansatz wäre der gleiche wie mit 2 Variablen, also (15!)/(3!*5!*7!)

Ich bin mir aber nicht sicher, ob sich dieser Ansatz dort genauso einfach verwenden lässt, wäre für Hilfe dankbar!

Answer 1

Bestimmen Sie den Koeffizienten von x^3*y^5*z^7 in (x+y+z)^15.

 

Mein Ansatz wäre der gleiche wie mit 2 Variablen, also (15!)/(3!*5!*7!)

Scheint mir vernünftig, denn für x^3*y^5*z^7 in (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)…(x+y+z)

brauchst du ja zwingend an 3 von 15 Stellen ein x. also (15 tief 3) Mögl.

dann an 5 von den restlichen 12 Stellen ein y. also (12 tief 5) Mögl.

dann an allen andern Stellen ein z. also 1 Mögl.

(15 tief 3)(12 tief 5) = 15!/(3!12!) * 12!/(5!/7!)

Alles auf einen Bruchstrich und dann 12! kürzen ergibt dein (15!)/(3!*5!*7!)

(x+y+z)^15 nennt man übrigens auch Trinom. vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Trinom