Stetige Abbildungen in metrischen Räumen

Question

Aufgabe 9:

Sei \( X \) ein metrischer Raum und seien \( f, g: X \rightarrow \mathbb{R} \) zwei stetige Abbildungen.

(a) Führen Sie den Beweis von \( \$ 3 \), Satz 3 der Vorlesung aus, d. h. zeigen Sie: Die Menge \( \{x \in X \mid f(x) \leq g(x)\} \) ist abgeschlossen in \( X \).

(b) Zeigen Sie: Die Menge \( \{x \in X \mid f(x)<g(x)\} \) ist offen in \( X \).

Aufgabe 10:

Diese Aufgabe schließt an Aufgabe 5 an. Sei \( (X, d) \) ein metrischer Raum.

(a) Ist \( A \) eine nicht-leere Teilmenge von \( X \) und definiert man \( f: X \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( f(x):=d(x, A) \), so ist \( f \) stetig.

(b) Sind \( A, B \) abgeschlossene, disjunkte Teilmengen von \( X \), so gibt es offene Teilengen \( U \) und \( V \) von \( X \) mit \( A \subseteq U, B \subseteq V \) und \( U \cap V=\emptyset \)

Comments

die aufgabe 9 hat nichts damit zu tun.

sondern die 5, vermutlich auf einem alten zettel.

 

geht darum, dass A eine Teilmenge von X ist, und d(x,A)= inf{ d(x,a)| a€A}.

 

Davon ausgehend muss man jetzt irgendwie die Stetigkeit zeigen, vermutlich mit der Dreiecksungleichung.

Answer 1

Zu 9):

Eine Abbildung ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen (abgeschlossenen)

Menge offen (abgeschlossen) ist.

Da \(f\) und \(g\) stetig sind, ist auch \(g-f\) stetig.

Die Menge aus (a) ist \((g-f)^{-1}([0,\infty))\), also als Urbild

der abgeschlossenen Menge \([0,\infty)\) abgeschlossen.

Die Menge in (b) ist \((g-f)^{-1}((0,\infty))\), also als Urbild der

offenen Menge \((0,\infty)\) offen.