Koordinatenvektor, inverse Koordinatenabbildung, transformationsmatrix

Question

1. Aufgabe
Gegeben sei der Vektorraum
$$ V=\left\{\left(\begin{array}{ll} {a} & {b} \\ {0} & {c} \end{array}\right) | a, b, c \in \mathbb{R}\right\} $$
mit den Basen
$$ \mathcal{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} {1} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} {2} & {2} \\ {0} & {2} \end{array}\right)\right\}, \quad B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{ll} {1} & {1} \\ {0} & {0} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} {0} & {1} \\ {0} & {1} \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {0} & {1} \end{array}\right)\right\} $$
(a) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{1}} \) von \( \vec{v}=\left(\begin{array}{cc}{1} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \)
(b) Bestimmen Sie die inverse Koordinatenabbildung \( K_{B_{1}}^{-1} \)
(c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix \( S_{\mathcal{B}_{1} \rightarrow \mathcal{B}_{2}} \)
(d) Berechnen Sie aus dem Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{1}} \) und der Transformationsmatrix \( S_{\mathcal{B}_{1} \rightarrow \mathcal{B}_{2}} \) den Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{2}} \)

2. Aufgabe
Gegeben sei folgende lineare Abbildung:
$$ L: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \longrightarrow \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ; \quad a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} \mapsto 2 a_{2} x+a_{1} $$
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( L_{\mathcal{B}} \) von \( L \) bzgl. der Basis \( \mathcal{B}=\left\{1, x, x^{2}\right\} \)
(b) Bestimmen Sie \( L\left(2 x^{2}+3\right) \) milt Hilfe von \( L_{B} \)
(c) Bestimmen Sie Bild( \( \left.L_{\mathcal{B}}\right), \) Bild \( (L) \) und \( \operatorname{dim}(\text { Bild }(L)) \) 

ich weiß viele haben die gleichen Aufgaben gestellt. Aber wie es so ist, komme auch ich nicht damit klar, und zwar fast gar nicht.

1a) und 1b)  habe ich soweit hinbekommen.
1c) und 1d) nicht ganz, bzw. ich habe bemerkt das ich einen falschen Ansatz habe (habe KB₂ nicht, wie soll ich KB₂°KB₁^-1  berechnen?? Also wenn jemand mir KB₂ verraten könnte, würde mir das schon reichen.


2a) und 2b) habe ich hinbekommen.
2c) check ich echt nicht ganz, wäre auch erfreut wenn ich einen Ansatz dazu kriege

(by the way, auf schnelle Antworten wäre ich noch viel mehr dankbar, muss die Aufgaben schnellstmöglich lösen :) )

--Übrigens, super von euch Leuten die hier Fragen beantworten. Das ist echt super nett.--

Answer 1

1. c) Das heißt ja wohl, wenn a,b,c die Koo bezüglich B1 sind, wie kann ich daraus die Koo x,y,z
bezüglich B2 berechnen ?
Das gibt  ( wenn X,Y,Z die drei Matrizen von B2 sind) die Gleichung
a*A+b*B+c*C= x*X+y*Y+z*Z  
Wenn du jetzt die Matrizen einsetzt, dann jede Matrixkomponente einzeln betrachtest
(außer der linken unteren, die ist ja immer 0)  bekommst du 3 Gleichungen, die du nach x,y,z
auflösen musst.
Dann bekommst du eine 3x3 Matrix in der Art
?      ?       ?             a                         x
?      ?      ?       *      b             =        y
?      ?      ?               c                        z

d) jetzt für a,b,c,von oben 0,1,0 einsetzen und dann müsstest du
die Koo zur Darstellung von v mittels B2 erhalten.

2) Bild L sind alle "Ergebnisse" die bei der Abb. L herauskommen, die
sehen alle so aus 2a₂x + a₁   also alle, die sich mit den Basisvektoren x und 1 erzeigen lassen,
also die lin. Hülle von { x ; 1 } und damit 2-dimensional.