Bestimmen Sie den Koordinatenvektor bezüglich der Basis. Bestimmen Sie die Transformationsmatrix.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der Vektorraum

\( V=\left\{\left(\begin{array}{ll} a & b \\ 0 & c \end{array}\right) \mid a, b, c \in \mathbb{R}\right\} \)

mit den Basen

\( \mathcal{B}_{1}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 0 & 2 \end{array}\right)\right\}, \quad \mathcal{B}_{2}=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\right\} \)

(a) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{1}} \) von \( \vec{v}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right) \) bezüglich der Basis \( \mathcal{B}_{1} \).

(b) Bestimmen Sie die inverse Koordinatenabbildung \( K_{\mathcal{B}_{1}}^{-1} \).

(c) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix \( S_{\mathcal{B}_{1} \rightarrow \mathcal{B}_{2}} \).

(d) Berechnen Sie aus dem Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{1}} \) und der Transformationsmatrix \( S_{\mathcal{B}_{1} \rightarrow \mathcal{B}_{2}} \) den Koordinatenvektor \( \vec{v}_{\mathcal{B}_{2}} \).

Answer 1

a) Hier sollst du das v als Linearkomb. der "Vektoren" (Das sind die drei Matrizen der
Basis B1 darstellen.
Da brauchst du nichts zu rechnen, wenn die drei Matrizen von B1 A,B,C heißen, dann ist
v= 0*A+1*B+0*C also der Koo-vektor  die Spalte (0;1;0).

b) weiss nicht genau was mit Koo-abb- gemeint ist.

c) Das heißt ja wohl, wenn a,b,c die Koo bezüglich B1 sind, wie kann ich daraus die Koo x,y,z
bezüglich B2 berechnen ?
Das gibt  ( wenn X,Y,Z die drei Matrizen von B2 sind) die Gleichung
a*A+b*B+c*C= x*X+y*Y+z*Z  
Wenn du jetzt die Matrizen einsetzt, dann jede Matrixkomponente einzeln betrachtest
(außer der linken unteren, die ist ja immer 0)  bekommst du 3 Gleichungen, die du nach x,y,z
auflösen musst.
Dann bekommst du eine 3x3 Matrix in der Art
?      ?       ?             a                         x
?      ?      ?       *      b             =        y
?      ?      ?               c                        z

d) jetzt für a,b,c,von oben 0,1,0 einsetzen und dann müsstest du
die Koo zur Darstellung von v mittels B2 erhalten.

Comments

könntest du vielleicht oder ijmd. Nr 1c) mal probieren auszurechnen, komme da auf kein richtiges Ergebnis, wenn ich die Matrix in d) verwende :// wäre sehr dankbar!