Transformationsmatrix von der Basis B in die Basis C berechnen und umgekehrt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome mit Grad 2 oder weniger. Seien die folgende Basen von \( \mathcal{P}_{2} \) gegeben:
\( \begin{aligned} \mathcal{B} & =\left(-\mathbf{m}_{1}+\mathbf{m}_{2}, \mathbf{m}_{2}, \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{2}\right), \\ \mathcal{C} & =\left(-2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{1}-\mathbf{m}_{2},-2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{2},-5 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{1}-2 \mathbf{m}_{2}\right) . \end{aligned} \)
a. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \).
\( T_{C_{C<-B}}=\left[\begin{array}{lll} -1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & -7 \end{array}\right] \)
b. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{C} \) in die Basis \( \mathcal{B} \).
\( T_{B<-C}=\left[\begin{array}{lll} -7 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{array}\right] \)

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe jetzt nun schon 2 mal durchgerechnet und sehe hier nicht wirklich mein Fehler. Ich habe hier leider auch nur noch einen Versuch und verstehe hier nicht genau, wo mein Fehler ist. Bitte helfen!

Ich weiß, dass meine Matrizen

B= \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \)

C = \( \begin{pmatrix} -2 & -1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 \\ -5 & -1 & -2 \end{pmatrix} \)

sind.

Eigentlich war ich mir ziemlich sicher, dass ich das jetzt beim zweiten Anlauf alles richtig durchgerechnet habe. Scheinbar aber doch nicht...

Comments

Oder habe ich meine zwei Basen verkehrt aufgstellt? Wären sie anders?

So in etwa:

B= \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 &1 & -1 \end{pmatrix} \)

und

C= \( \begin{pmatrix} -2 & -2 & -5 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \)

Wenn ja dann habe ich folgedens raus:

Text erkannt:

Entered
Answer Preview
\( \left[\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\ -4 & -3 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\ -4 & -3 & 4 \\ 2 & 2 & -3 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -4 & -3 & -8 \\ -2 & -2 & -5 \end{array}\right] \)
\( \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -4 & -3 & -8 \\ -2 & -2 & -5 \end{array}\right] \)

Sei \( \mathcal{P}_{2} \) der Vektorraum aller Polynome mit Grad 2 oder weniger. Seien die folgende Basen von \( \mathcal{P}_{2} \) gegeben:
\( \begin{aligned} \mathcal{B} & =\left(-\mathbf{m}_{1}+\mathbf{m}_{2}, \mathbf{m}_{2}, \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{2}\right), \\ \mathcal{C} & =\left(-2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{1}-\mathbf{m}_{2},-2 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{2},-5 \mathbf{m}_{0}-\mathbf{m}_{1}-2 \mathbf{m}_{2}\right) . \end{aligned} \)
a. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{B} \) in die Basis \( \mathcal{C} \).
\( T_{C \leftarrow B}=\left[\begin{array}{lll} -1 & -2 & 3 \\ -4 & -3 & 4 \\  2 & 2 & -3 \end{array}\right] \)
b. Berechnen Sie die Transformationsmatrix von der Basis \( \mathcal{C} \) in die Basis \( \mathcal{B} \).
\( T_{\mathcal{B} \& \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ -4 & -3 & -8 \\ -2 & -2 & -5 \end{array}\right] \)

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Die Lösung zuletzt von mir war richtig!

Answer 1

Aloha :)

Wir wissen, wie die Basis \(B\) und die Basis \(C\) bezüglich einer nicht näher spezifizierten Basis \(M\) definiert sind:

$$B=\left(-m_1+m_2;m_2;m_0-m_2\right)=\left(\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}_M;\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_M;\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}_M\right)$$$$C=\left(-2m_0-m_1-m_2;-2m_0-m_2;-5m_0-m_1-2m_2\right)$$$$\phantom C=\left(\begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}_M;\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}_M;\begin{pmatrix}-5\\-1\\-2\end{pmatrix}_M\right)$$

Damit kennen wir die Transformations-Matrizen von \(B\to M\) und von \(C\to M\):$$T_{M\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\-1 & 0 & 0\\1 & 1 & -1\end{array}\right)\quad;\quad T_{M\leftarrow C}=\left(\begin{array}{rrr}-2 & -2 & -5\\-1 & 0 & -1\\-1 & -1 & -2\end{array}\right)$$

Die Transformations-Matrix von \(B\to C\) folgt dann so:$$T_{C\leftarrow B}=T_{C\leftarrow M}\cdot T_{M\leftarrow B}=\left(T_{M\leftarrow C}\right)^{-1}\cdot T_{M\leftarrow B}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -2 & 3\\-4 & -3 & 4\\2 & 2 & -3\end{array}\right)$$

In die umgekehrte Richtung geht es mit der Inversen:$$T_{B\leftarrow C}=\left(T_{C\leftarrow B}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\-4 & -3 & -8\\-2 & -2 & -5\end{array}\right)$$