Grenzwerte bei Funktionen

Question

Ich setze mich gerade mit dieser Aufgabe auseinander allerdings komme leider nicht weiter :(

Wie lauten die Grenzwerte ?

$$ \lim \limits_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} \text{ und } \lim \limits_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} $$

Ich bedanke mich bei Rückmeldung :)

Comments

Hi, wenn du schon den Formeleditor nicht nutzen möchtest bitte wenigstens Klammern setzen.

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Es tut mir leid,ich bin hier ganz neu,wollte gerade auch meinen Text bearbeiten aber es hat nicht geklappt :)

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Kein Problem, schreib es hier als Kommentar und ich ergänze es in der Originalfrage. Beachte dabei was bisher irritierend ist:
1. Bis wohin geht die Wurzel bzw. was steht alles im Nenner?2. Warum 2 mal denselben Grenzwert?

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Es tut mir schrecklich leid, das bei dem zweiten Grenzwert geht es nicht gegen ∞ sondern gegen -∞,und die Wurzel geht ab a^2 bis x^2 also  ;

$$ \underset { x->\infty  }{ lim }  \frac { x }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }  } $$  

und

$$ \underset { x->-\infty  }{ lim }   \frac { x }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ x }^{ 2 } }  }  $$

Answer 1

jetzt wo das mit der Frage geklärt ist versuch es doch mit der folgenden Umformung: ( \(x \neq 0 \) ist ja klar)

$$ \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{x}{|x| \sqrt{\frac{a^2}{x^2}+1}}$$

Und du kannst zeigen, dass der eine Grenzwert gegen 1 und der andere gegen -1 geht.

Gruß

Comments

Ich bin mir nicht sicher ob ich richtig verstanden habe,die Wurzelkriterien verwirren mich immer :( Ich gehe davon aus,dass in der Wurzel $$ \frac { { a }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } }  $$ gegen 0 konvergieren,da sie eine Bruchzahl ist,ich weiß nicht ob es richtig ist,wenn man so definiert? Und x und |x| weggekürzt werden und aus der Wurzel auch 1 deswegen bekommen wir 1? Aber bei dem zweiten Grenzwert ist mir nicht genau klar,wie es gegen -1 wegen -∞ konvergiert.

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Versuchen wir einmal ein paar Fragen zu klären
( meine mathematische Schreibweise ist nicht ganz korrekt )

a ist const.
a / ∞ ergibt 0
a^2 / ∞^2  = ( a / ∞ ) ^2 ergibt 0

Aber bei dem zweiten Grenzwert ist mir nicht genau klar,
wie es gegen -1 wegen -∞ konvergiert.

Der Nenner bleibt für beide Varianten gleich.

Im Zähler steht einmal ( x = ∞ ) und ( x = -∞ ) deshalb bei den
Ergebnissen 1 bzw. -1.

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Noch letzter Punkt;

Dann wurden x und |x| auch weggekürzt bzw. $$ \frac { \infty  }{ |-\infty |\sqrt { 1 }  }  $$,x wird durch ∞ eingesetzt?Wird die Zahl nicht undefiniert?

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Beispiel

∞
..
4 / | 4 |  = 1
3 / | 3 |  = 1
2 / | 2 |  = 1
1 / | 1 |  = 1

-1 / | -1 |  = -1
-2 / | -2 |  = -1
-3 / | -3 |  = -1
-4 / | -4 |  = -1
..
- ∞

Dies ist zwar kein streng akademischer Beweis aber
vielleicht genügt er dir ja.
Ansonsten wieder melden.

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Verstehe jetzt,wir sezten x nicht durch ∞ ,sondern durch unendlich viele Zahlen ? Weil der Grenzwert gegen unendlich geht,nicht dass der Grenzwert unendlich ist,da ∞ keine Zahl ist?

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Ich habe dir 2 Reihen präsentiert die darauf schließen lassen
das für
x > 0 der Quotient 1 ist und für
x < 0 der Quotient -1 ist.

Hier einmal ganz formell

x / | x |

1.Fall : für x > 0 gilt
x / | x | = x / x
Falls x <> 0 dann ist
x / x = 1

2.Fall : für x < 0 gilt
x / | x | = x / - x
Falls x <> 0 dann ist
x / - x = - 1

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Edit: Ups, da habe ich zu lang getippt, ich wollte nach der vorletzten Antwort von georborn schreiben.

Nochmal zusammengefasst:

Für \(x\neq 0\) gilt \(\frac {x}{|x|} = \operatorname{sgn}(x)\), wobei \(\operatorname{sgn}(x)\) die Vorzeichenfunktion ist, also entweder +1 oder -1 (da x nicht 0 ist). Das ist ja klar, weil für \(x>0\) natürlich \( \frac {x}{|x|}=\frac x x = 1\) ist, während \(\frac {x}{|x|} = \frac {x}{-x}=-1\) für \(x<0\) gilt.

Dann haben wir

$$ \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac {x}{|x|\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}=\lim_{x\rightarrow+\infty} \frac {\operatorname{sgn(x)}}{\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}= \lim_{x\rightarrow+\infty} \frac {1}{\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}=1$$

und

$$\lim_{x\rightarrow-\infty} \frac {x}{|x|\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}= \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac {\operatorname{sgn(x)}}{\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}= \lim_{x\rightarrow-\infty} \frac {-1}{\sqrt{\frac {a^2}{x^2}+1}}=-1$$