Beweise für Matrix, Vektor, lineare Abbildungen

Question

Aufgabe:

Für $\alpha, \beta, s, t \in \mathbb{R}$ seien die Familien

$B:=\left(b_{1}, b_{2}\right):=\left(\left(\begin{array}{c} -1 \\ s \end{array}\right)_{E_{2}},\left(\begin{array}{c} t \\ -s \end{array}\right)_{E_{2}}\right)$

und

$C:=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right):=\left(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \alpha \end{array}\right)_{E_{3}},\left(\begin{array}{c} -1 \\ \beta \\ 0 \end{array}\right)_{E_{3}},\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)_{E_{3}} \right)$

gegeben, wobei $E_{2}$ bzw. $E_{3}$ die kanonischen Basen von $\mathbb{R}^{2}$ und $\mathbb{R}^{3}$ sind.

a) Zeigen Sie, dass $B$ genau dann eine Basis von $\mathbb{R}^{2}$ ist, wenn $s \neq 0$ und $t \neq 1$.

b) Zeigen Sie, dass $C$ genau dann eine Basis von $\mathbb{R}^{3}$ ist, wenn dann $\alpha \neq 0$ und $\beta \neq 0$.

c) Für $t=2$ und $s=1$ sei $T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ die eindeutige lineare Abbildung derart, dass $T\left(b_{i}\right)=c_{i}$ für $i=1,2 .$ Bestimmen Sie, $q_{1}, \ldots, q_{6} \in \mathbb{R}$ so, dass
$T\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)_{E_{2}}=\left(\begin{array}{l} q_{1} x_{1}+q_{2} x_{2} \\ q_{3} x_{1}+q_{4} x_{2} \\ q_{5} x_{1}+q_{6} x_{2} \end{array}\right)_{E_{3}} \quad \forall\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)_{E_{2}} \in \mathbb{R}^{2}$

d) Es sei weiterhin $s=1, t=2$. Für welche $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ ist $T$ injektiv?

e) Für $\alpha=\beta=1$ sei $S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ die eindeutige lineare Abbildung so, dass

$S\left(\begin{array}{l} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right)_{C}:=\left(\begin{array}{c} v_{1}-2 v_{2} \\ v_{3} \end{array}\right)_{B}$

Bestimmen Sie $p_{1}, \ldots, p_{6} \in \mathbb{R}$ so, dass

$S\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)_{E_{3}}=\left(\begin{array}{l} p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+p_{3} x_{3} \\ p_{4} x_{1}+p_{5} x_{2}+p_{6} x_{3} \end{array}\right)_{E_{2}} \quad \forall\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)_{E_{3}} \in \mathbb{R}^{3}$

f) Es sei weiterhin $\alpha=\beta=1$. Für welche $s, t \in \mathbb{R}$ ist $S$ surjektiv?

Ansatz/Problem:

Also zu a) und b): Soll ich die Äquivalenz zeigen oder eher einsetzen und dann zeigen oder Beweisen? Da stehe ich momentan total auf den Schlauch.

Zu c): ist klar

Zu d): Ich würde das ganze mit dem Kern(T) zeigen, dass der {0} ist (natürlich α und β natürlich dementsprechend wählen) und durch einen Satz folgern, dass T injektiv ist.

Zu e): Müsste wie c) gehen.

Zu f): Da habe ich keine Ahnung. Ein Ansatz wäre toll

Ich bitte um Feedback, wenn ich die Aufgaben so nicht bearbeiten könnte.

Answer 1

a) wegen genau dann, wenn..musst du beide Richtung zeigen
also aus B ist Basis muss s ungeich 0  und t ungleich 1 folgen.
geht so:
B Basis heißt : Die beiden Vektoren sind lin. unabh.
wäre t=1 , dann wäre ( -1 ; s) * -1 = ( 1 ; -s ) also der zweite das -1 fache
des ersten Wiuderspr. zu lin unabh.

wäre s = 0 könnte mit den beiden z.B. der Vektor  ( 0;1 ) nicht erzeugt werden, also
würden sie kein Erz.system bilden  Widerspruch zu:  ist Basis.

Umgekehrt ähnlich: