Diagonalisierbarkeit zeigen mit Transformationmatrizen

Question

habe noch eine Frage,

und zwar soll ich die Matrix A auf Diagonalisierbarkeit überprüfen und Darstellungsmatrix sowie Transformationsmatrizen angeben.

1	2	2
2	-2	1
2	1	-2

Mein Gedankengang: Ich ermittle Einheitswerte und vektoren und stelle mit diesen die Transformationsmatrix auf. Jetzt habe ich als EW; x=3 und x=-3 heraus.

Ev1=

2

1

1

Ev2:

-0,5

1

0

Meine Frage jetzt, wie kann ich die Transformationsmatrix S aus den EV aufstellen, wenn ich nur 2 habe? Kann ich mir einen weiteren Vektor ausdenken? oder ist die aufgabe jetzt schon zuende...

lG

Comments

Zum Eigenwert  -3  existieren zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

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Vielen Dank, habs gerade auch gemerkt.
Ich kann ja wenn ich das LGS

4 2 2 0
0 0 0 0
0 0 0 0

habe, einmal x₃=t setzen und x₂=t, dann bekomme ich 2 Vektoren, ist das richtig? lG

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Nicht ganz. Wähle \(x_2=s\) und \(x_3=t\). Dann ist \(x_1=-\frac12s-\frac12t\) und $$x=\begin{pmatrix}-\frac12s-\frac12t\\s\\t\end{pmatrix}=s\cdot\begin{pmatrix}-\frac12\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-\frac12\\0\\1\end{pmatrix}.$$Damit hast du zwei linear unabhängige Eigenvektoren.

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Ach, genau so habe ich das schonmal gesehen

Und damit kann ich nun meine Transformationsmatrix S mit (v1,v2,v3) bilden, oder?

(-1 2 -1

2 1 0    =S

0 1 2)

oder darf ich das nicht wegen den zwei unterschiedlichen variablen?

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Im Prinzip ist das richtig. Üblicherweise ordnet man die Eigenwerte aber blockweise an.

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Bei der nächsten Aufgabe habe ich nun das LGS

0 3 -2 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Dort setze ich nun x₂ =s und x₃=t dann folgt aus gleichung 1: 0x₁= -3s+2t, oder muss ich hier x₁=t setzen, weil sonst keine aussage über die variable getroffen wird.. somit wären x_2/3=0... lG

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Hier kannst du \(x_1=t\) und \(x_2=s\) wählen. Aus der ersten Gleichung folgt dann \(x_3=\frac32s\).

Answer 1

Mit den gefundenen Eigenvektoren kannst Du die Matrix diagonalisieren.