Zeige die Diagonalisierbarkeit,nilpotent, Potenz und finde C so das C²=B

Question

Aufgabe:

Gegeben sind Matrix A

-2	2
1	-2

und B

2	-1
-1	2

Zeige die Diagonalisierbarkeit

Zeige A+B ist nilpotent und nicht diagonalisierbar

Berechne die algemeinen Potenzen A^n

Finde Matrix C für die gilt C²=B, gibt es diagonalisierbare C?

Problem/Ansatz:

Ich weiß das A und B diagonalisierbar sind wenn jeweils die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte gleich sind, ich weiß nur leider nicht wie ich die Vielfachheiten berechne nachdem ich durch das Polynom die Eigenwerte ermittelt habe.

Ich weiß nicht wie ich C finden soll, logisch wäre für mich Wurzel(B) aber wie finde ich die Wurzel einer matrix? Generell hab ich große Probleme, danke für Hilfe

Answer 1

Die charakteristischen Polynome sind

\(P_A=x^2+4x+2,\; P_B=x^2-4x+3\), ihre Diskriminanten sind

\(D(P_A)=4^2-4\cdot 2=16-8=8>0\) und \(D(P_B)=4^2-4\cdot 3=4> 0\).

Damit haben beide Matrizen jeweils 2 verschiedene reelle Eigenwerte, sind

daher diagonalisierbar.

Wie man leicht nachrechnet ist \((A+B)^2=0\), also

\(A+B\) nilpotent, aber nicht diagonalisierbar, da die geometrische Vielfachheit

des einzigen Eigenwerts 0 gleich 1, die alg. Vielfachheit jedoch 2 ist.