Geben Sie, falls möglich, eine injektive lineare Abbildung an, oder beweisen Sie, dass es keine solche gibt.

Question

Aufgabe:

a) Geben Sie, falls möglich, eine injektive lineare Abbildung

\( \varphi: \operatorname{Span}\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 4 \\ 5 \\ 6 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 7 \\ 8 \\ 9 \\ 0 \end{array}\right)\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \)

an, oder beweisen Sie, dass es keine solche gibt.

b) Sei \( A \) eine \( 3 \times 2 \)-Matrix und \( B \) eine \( 2 \times 3 \)-Matrix. Zeigen Sie, dass die \( 3 \times 3 \)-Matrix \( A B \) nicht invertierbar ist.

Answer 1

Die drei Vektoren sind lin. unabh. (könntest du noch beweisen)
d.h. dim ( Span....) = 3
also wären deren Bilder bei einer INJEKTIVEN lin. Abb auch lin. unabh.

In R^2 gibt es aber keine 3 lin. unabh. Vektoren, also geht es nicht.

b)  A gehört zu einer lin Abb   f von R^3 nach R2 und B zu einer Abb g  von R^2 nach R3

A*B also zu einer Abb von  h  von R^3 nach R^3

wäre A*B invertierbar, gäbe es eine Umkehrabb müsste   Bild(h) = R^3 sein.

Aber Bild h ist Teilraum von Bild g und da g von R^2 nach R^3 hat Bild von g höchstens dim = 2.

Comments

Meiner Berechnung zur Folge, sind die drei Vektoren nicht linear unabhängig.
Durch Zeilentransformation bekomme ich den Rang = 2 raus, was bedeutet, dass die Vektor linear abhängig sind oder habe ich mich vielleicht verrechnet? :/

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Nein, hast du nicht. Die 3 Vektoren sind linear abhängig, kA warum mathef das anders sieht.

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Oh, hatte micht verrechnet sind wirklich lin. abh.

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Also gibt es eine injektive lineare Abbildung? Wie finde ich eine?

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wenn die drei gegebenen Vektoren u,v,w sind; dann kann ja jeder aus dem

Span in der Form a*u+b*v dargestellt werden; denn die bilden ja eine Basis für

den Span.

also nimmst du einfach f(u) = (1;0) und f(v) = (o;1)

denn jeder von R^2 kann eindeutig damit dargestellt werden.

für injektiv genügt dann zu zeigen:  Kern = {0}

aber f(x) = 0 heißt

f( a*u+b*v) = 0

af(u) +b*f(v)=0  

also a=b=0 weil f(u) und f(v) lin. unabh.

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Okay, ich nehme f(u) = (1;0) und f(v) = (0;1). Wie berechne ich mit dieser Information die Abbildung f?
Ich kann kein Gleichungssystem erkennen. Vielleicht stehe ich aber auch gerade mega auf dem Schlauch ...

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wenn du ein Element x aus Span ( u,v,w) hast,

sieht es so aus x =  a*u  +  b*v  + c*w  

also sind dir quasi a,b,c gegeben.

weil aber w= -1*u + 2*v ist, ist das

x = a*u  +  b*v  + c*( -1*u + 2*v ) =  (a-c)*u + (b+2c)*v

und damit  

f(x) =  (a-c)*(1;0) + (b+2c)*(0;1) = (  a-c  ;  b+2c )

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Ah vielen Dank!
Ich habe es eben mit einer Matrixgleichung versucht:

                               (1 4)
(x11 x12 x13 x14)   (2 5)   =   (1 0)
(x21 x22 x23 x24)   (3 6)        (0 1)
                                (0 0)

Sieht nicht sehr schön aus, ich weiß :D

Ist das denn ebenso möglich? Ich kriege dann die darstellende Matrix einer linearen Abbildung (eine andere als deine).
Der Rechenweg ist auch 3x länger als deiner, aber ist nicht falsch, oder?

 

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Die Matrix hängt doch immer von der Basis ab. Du musst schon dazu sagen, auf

welche Basis sich das bezieht.

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Mein Span besteht aus den Vektoren (1,2,3,0) und (4,5,6,0).
Da sich der Vektor (7,8,9,0) durch die beiden anderen Vektoren darstellen lässt, habe ich ihn im Span aussen vor gelassen.

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Du meinst die Basis für deinen Span besteht

aus den Vektoren (1,2,3,0) und (4,5,6,0).

Also wäre deine Matrix eine, die aus den a und b

von a*(1,2,3,0) +b*(4,5,6,0) die Koordinaten des Bildes ermittelt.

In deinem Fall dann die Einheitsmatrix, denn

Einheitsmatrix mal Vektor (a;b) gibt Koordinatenvektor (a;b)

und falls f (1,2,3,0)= ( 1;0)  und f (4,5,6,0) = (0;1) ist das ja richtig.

Das ist dann die Matrix in Bezug auf die Basis (1,2,3,0) und (4,5,6,0)

für den Span von...  und die kanonische Basis für den Zielraum R^2.