Gibt es eine injektive Abbildung g: Y --> X, sodass für jede...

Question

Hey.. es wäre toll wenn mir jemand sagen könnte, wie man Aufgaben von diesem Typ löst:

Teilmengen X := {1, 2} und Y := {1, 2, 3, 4}

Gibt es eine Abbildung g: Y --> X, sodass für jede injektive Abbildung f: X --> Y die Komposition g○f: X --> Y injektiv ist?

Weiß leider echt nicht weiter..

Answer 1

wenn f Injektiv ist, dann sind f(1) und f(2)  zwei verschiedene Elemente a und

b von Y.

Wenn nun g irgendeine Abbildung von Y nach X ist, und die Komposition Injektiv

werden soll, dann müssen den beiden verschiedenen Elementen  a=f(1) und b=f(2)

auch wieder verschiedene Elemente von X also

einem die 1 und dem anderen die 2 zugeordnet werden.  Etwa g(a) = 1 und g(b)=2 .


(Der umgekehrte Fall geht nachher entsprechend.)Das g aber auf ganz Y definiert sein soll, muss einem der von a= f(1) und b= f(2)

verschiedenen Elemente - nennen wir es c - auch die 1 oder die 2 zugeordnet werden.

und sagen wir mal es wird g(c) = 1 sein.  Dann ist aber die Abbildungh: X ---> Y  mit  h(1)=a und h(2)=c auch Injektiv ( denn a ≠c) aber bei der Komposition
ist goh(1)=g(h(1)) = g(a) = 1             und  goh(2) = g(h(2) ) = g(c) = 1

also Komp. nicht Injektiv.    Eine Abb. g mit den geforderten Eigenschaften

gibt es also nicht.

Answer 2

Es handelt sich um ein endliches Problem von bekannter Größe. Schreibe alle Möglickeiten auf.