1. Aufgabe:
Seien \( K \) ein Körper und \( \phi: K \rightarrow K \) ein Ringhomomorphismus. (d.h. für alle \( x, y \in K \) gilt \( \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y), \phi(x y)=\phi(x) \phi(y) \) und \( \phi(1)=1) \). Bezeichne \( \bar{x}:=\phi(x) \). Angenommen, \( \phi \) ist eine Involution, d.h. \( \bar{x}=x \) für alle \( x \in K \). Sei \( t \in K \) mit \( \bar{t}=t \)
a) Sei \( L \) ein Ring, der \( K \) als Unterring enthält. Angenommen, es gibt \( j \in L \) mit \( j^{2}=t, j a=\bar{a} j \) für alle \( a \in K \) und jedes \( z \in L \) lässt sich eindeutig darstellen als \( z=a+b j(a, b \in K) . \) Seien \( u=a+b j, v=c+d j \in L(a, b, c, d \in K) . \) Berechnen Sie \( e, f \in K \), sodass \( u v=e+f j \)
b) Sei \( L=K \times K \). Definiere
\( \begin{array}{c} (a, b)+(c, d):=(a+c, b+d) \\ (a, b) \cdot(c, d):=(a c+b \bar{d} t, a d+b \bar{c}) \end{array} \)
Zeigen Sie: \( L \) ist ein Ring mit 1-Element \( (1,0) \in L \) und die Einbettung \( i: K \rightarrow L, x \mapsto(x, 0) \) ist ein Ringhomomorphismus.
Hinweis: Es ist offensichtlich, dass \( (L,+) \) eine abelsche Gruppe ist. Diesen Teil der Definition eines Ringes bitte nicht beweisen.
2. Aufgabe:
Angenommen, wir sind in der Situation der Aufgabe 1b.
a) Definiere \( \bar{u}:=(\bar{a},-b) \) für alle \( u=(a, b) \in L \). Zeigen Sie: für alle \( u=(a, b) \in L \) und \( v \in L \) gilt
\( \overline{u v}=\bar{v} \bar{u}, \overline{\bar{u}}=u \text { und } u \bar{u}=(a \bar{a}-t b \bar{b}, 0) \)
b) Zeigen Sie:
\( L \) ist ein Schiefkörper \( \Longleftrightarrow \forall(a, b) \in L \backslash\{(0,0)\} \) gilt \( a \bar{a} \neq t b \bar{b} \)
(Ein Schiefkörper ist ein Ring mit 1 , in dem jedes Element \( \neq 0 \) ein Inverses hat, in anderen Worten ein Schiefkörper ist ein nicht unbedingt kommutativer Körper).
c) Zeigen Sie:
\( L \) ist ein Körper \( \Longleftrightarrow \phi=i d_{K} \) und \( t \) kein Quadrat in \( K . \)
3. Aufgabe:
Konstruiere mithilfe der Aufgabe (2) einen Körper mit 25 Elementen.
