Erst mal "wohldefiniert" zeigen,
(ich nehme mal g statt Phi )
dass also für alle g aus Hom(W,K)
g ° f aus Hom(V,K) ist.
Das liegt daran, dass beide linear sind.
wie immer bei linear musst du dann zeigen:
f* ( g1+g2) = f*(g1) + f*(g2) und f*( a*g) = a* f*(g)
sei en also g1, g2 aus Hom(W,K)
dann ist für alle x aus V.
f * ( g1+g2) (x) = (g1+g2) ( f(x)) nach Def. von f*
= g1(f(x)) + g2(f(x)) nach Def. von + für Abbildungen
= f*(g1)(x) + f*(g2(x)) nach Def von f*
= (f*(g1)+f*(g2)) (x)
stimmt also.
und f*( a*g) = a* f*(g) so ähnlich.