Beweise, dass Hom(V,W) auch ein K-Vektorraum mit punktweiser Vektoraddition und punktweiser Skalarmultikplikation ist...

Question

Sei K ein Körper und seien V und W K-Vektorräume.

Beweise, dass Hom(V,W) auch ein K-Vektorraum mit punktweiser Vektoraddition und punktweiser Skalarmultikplikation ist.

Mache eine Liste der Dinge, die zu zeigen sind!

Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser und (rs)f=r(sf) für r,s Element von Hom(V, W).

Wäre über eine schnelle Antwort sehr dankbar. Sitze nun schon den ganzen Nachmittag an dieser Aufgabe und komme nicht weiter.

Vielen Dank schonmal im Voraus :))

Comments

Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser und (rs)f=r(sf) für r,s Element von Hom(V, W).

Wohl eher r , s aus K und f aus  Hom(V, W). ??

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Sitze auch gerade an dieser Aufgabe...  

Mathef, du hast Recht... Aufgabenstellung so wie sie in der Fragestellung steht ist falsch.

Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser und (rs)f=r(sf) für r,s aus K und f Element Hom(V,W) 

Wäre aber super wenn du die Frage beantworten könntest. Komme nämlich auch nicht weiter.

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Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser und (rs)f=r(sf) für r,s aus K und f Element Hom(V,W) 

Da fängst du einfach so an:Seien r,s aus K und f aus (Hom(V,W) . 

Du musst zeigen:   (rs)f=r(sf)  .

Das sind zwei Abbildungen. Für die Gleichheit musst du zeigen, dass für alle v aus V gilt

((rs)f)(v)=(r(sf)) (v) .Was heißt ((rs)f)(v)wegen " punktweiser" Definition ist das

(rs)* f(v) und f(v) ist ein Element von W und weil W auch ein K-Vektorraum ist, ist das

=  r*( s*f(v) )  und    s*f(v) ist das Bild von v unter der Abbildung  sf, also

=  r*( sf ) (v)   und  das ist wieder das Bild von v unter der Abb  r(sf) also

= (f(sf))(v) .Vielleicht ist das ja schon eine Anregung für den Rest.

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Schonmal vielen Dank

....komme aber immer noch nicht so recht weiter :-(

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Hast du denn die Liste ?

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Nein:-( Komme echt nicht weiter.

Answer 1

Schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/5935/zeigen-sie-dass-das-triple-hom-wobei-f-und-ein-vektorraum-ist

Comments

Hilft mir leider auch nicht so recht weiter :-( Stehe noch immer voll auf dem Schlauch..

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Ich hatte dir doch den Link zu der Liste geschickt:

Vergleiche das mal mit deinen eigenen Unterlagen:

hom(V,W),+,* ist eine kommutative gruppe 


1. neutralelement  bzgl +   ( ist die 0-Abb )

2. inverses   ( zum  Hom f  ist   - f )

3. +assoziativ +kommutativ

4. * assoziativ   Das ist das:    (rs)f=r(sf) 

5. 1 element  im Sinne von  1 * f  =  f

6. distributivgesetze

7. abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit skalaren

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Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser und (rs)f=r(sf) für r,s aus K und f Element Hom(V,W) 

Da fängst du einfach so an:Seien r,s aus K und f aus (Hom(V,W) .  

Du musst zeigen:   (rs)f=r(sf)  . 

Das sind zwei Abbildungen. Für die Gleichheit musst du zeigen, dass für alle v aus V gilt 

((rs)f)(v)=(r(sf)) (v) .Was heißt ((rs)f)(v)wegen " punktweiser" Definition ist das 

(rs)* f(v) und f(v) ist ein Element von W und weil W auch ein K-Vektorraum ist, ist das 

=  r*( s*f(v) )  und    s*f(v) ist das Bild von v unter der Abbildung  sf, also 

=  r*( sf ) (v)   und  das ist wieder das Bild von v unter der Abb  r(sf) also 

= (f(sf))(v) .Vielleicht ist das ja schon eine Anregung für den Rest

Wie geht dieser Beweis weiter?

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würde auch gerne wissen wie es weiter geht, komme auch nicht klar

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Es ist doch gezeigt:

Für alle v aus V gilt    ((rs)f)(v)=(r(sf)) (v)

Also sind die Abb'en gleich  (rs)f=r(sf). 

Beweis zu Ende.

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Du musst es so machen wie in Buechern. Man markiert das Ende eines Beweises z.B. mit q.e.d oder einem speziellen Zeichen wie \(\square\). Das ist eine Sicherheitsmassnahme für Nichtblicker, die weiterlesen wollen, weil sie denken, es muss doch noch was kommen.

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Und wie zeigt man die Existenz additiver Inverser?

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Musst zeigen, dass es zu jeder Abbildung f eine Abb. g gibt, so dass

f + g = 0 - Abbildung   und   g+f = 0-Abb. ist.

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Wie macht man das?

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Probier es mal mit g= - f

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Komme immer noch nicht weiter :-(

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Zeige exemplarisch die Existenz additiver Inverser:

Sei f aus Hom(V,W) .  Dann ist auch - f  :=  (-1) * f  aus Hom ( V,W ) und es gilt :f + ( -f) = 0-Abbildung = neutrales Element der Add. in Hom(V,W).

Denn  f + ( -f) = 0-Abbildung zeigt man dadurch, dass für alle v aus V gilt

( f  + (- f )) (v)  =  0-Abbildung ( v)und (f + ( -f) ) ( v) = f(v) + (-f) (v) wegen der punktweisen Def.

und das ist

=  f(v) + (-f) (v)   also nach Def. von - f

=  f(v) +  (-1) *f (v)   nach Distributiv.ges.

=  ( 1 + (-1) ) *  f(v)  Rechnen in K

= 0 * f(v)   weil W Vektorraum ist

= 0-Vektor von WAndererseits ist   0-Abbildung ( v)   =   0-Vektor von W  nach

Def. der 0-Abb.  

Also gilt     f + ( -f) = 0-Abbildung . 

Entsprechend zeigst du 

0-Abbildung = f + ( -f )    und bist fertig.