Integration von (e^x - e^{-x})^2 / (4)

Question

Ich möchte folgendes Integral integrieren:

$$ \frac { ({ e }^{ x }{ -e }^{ -x })^{ 2 } }{ 4 }  $$

Meine Idee wäre jetzt gewesen den e Ausdruck zu substituieren mit z = e^x ...

Leider komme ich hier nicht mehr weiter, ist der Ansatz überhaupt richtig?

Answer 1

1/4 * ∫ ( e^x - e^{-x} )^2 dx
1/4 * ∫  e^{2x} - 2*e^0  + e^{-2x}  dx
1/4 * ∫  e^{2x} - 1  + e^{-2x}  dx

Ich gehe probeweise den Weg rückwärts. Eine e-Funktion kann nur
aus einer e-Funktion abgeleitet worden sein. Deshalb probeweise

[ e^{2x} ] ´= e^{2x}* 2
Den Faktor 2 müssen wird durch eine Umkehrfunkrion noch entfernen
[ 1/2 * e^{2x} ] ´= 1/2 * e^{2x}* 2 = e^{2x}

Dasselbe für
[ 1/2 * e^{-2x} ] ´= 1/2 * e^{-2x}* 2 = -e^{-2x}
[ -1/2 * e^{-2x} ] ´= -1/2 * e^{-2x}* 2 = e^{-2x}

1/4 * ∫  e^{2x} - 1  + e^{-2x}  dx
1/4 * (  1/2 * e^{2x} - x - 1/2 * e^{-2x} )

Comments

Danke stimme ich dir auch fast zu aber müsste nicht dein -x ein -2x sein?

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Mich würde noch folgendes interessieren, eigentlich ist die Gleichung ja gleich mit sinh(x)^2.

Ist es besser mit der alternativen Form also der E Funktion zu rechnen oder würde sich auch Partielle Integration eignen ?

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Du meinst den mittleren Summanden ?

∫ 1 dx = x
oder
x ` = 1

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Schon an dieser Stelle: 1/4 * ∫  e^2x - 1  + e^-2x  dx 

dort müsste eigentlich eine -2 stehen, oder irre ich mich ?

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Fehlerkorrektur.
Anstelle
1/4 * ∫  e^2x - 2*e⁰  + e^-2x  dx
1/4 * ∫  e^2x - 1  + e^-2x  dx

Muß es heißen
1/4 * ∫  e^2x - 2*e⁰  + e^-2x  dx
1/4 * ∫  e^2x - 2  + e^-2x  dx

Und damit
1/4 * (  1/2 * e^2x - 2*x - 1/2 * e^-2x )

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Ahh danke für die Verbesserung ! Sehr lieb.

Hast du ggf. noch eine Antwort hierfür ?

Ist es besser mit der alternativen Form also der E Funktion zu rechnen oder würde sich auch Partielle Integration eignen ?

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Hier die Variante mit ersetzen

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Danke georgborn !

Den gesamten E Ausdruck zu substituieren funktioniert aber nicht oder?

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Kann probiert werden

Wir haben einen Ausdruck mit z und x herausbekommen.
Das war eine Sackgasse.