Integration von Bruch mit Wurzel 1/(sqrt(9x^2-4))

Question

Hallo leutz,

Stehe vor einem problem undzwar, wie löse ich das integral

1/(sqrt(9x^2-4))

Ich habe es bereits mit einem onlinerechner probiert nur verstehe die Schritte gar nicht.

Vielleicht kann mir jemanden erklären wie hier vorgegangen wird

Mögliche Lösung:

Ln(3x + sqrt(9x^2-4))/3 +c

Answer 1

bei dieser   Online-Herleitung  musst du dir bei "Rechenweg anzeigen" nur durchgehend sec(x) = 1 / cos(x)  denken.

[ Ist durchaus ziemlich lästig :-) ]

Gruß Wolfgang

Comments

Versteh ich nicht

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Ich blicke bei der Substitution nicht durch.
Warum wird hier 3x/2 subsitituiert ?

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Der eigentliche Grund ist "weil es dann funktioniert".

Hier funktioniert es, weil sich mit  u = 3/2 x     x = 2/3 u  und sich

damit √ ( 9x² - 4) =  √ ( 9·4/9 · u² -  4) = √[ 4·(u² - 1) ]  = 2·√(u² -1) ergibt und

weil sich ∫ 1 / √(u² -1) du halt eben mit der Substitution u = 1/cos(x) [ hier sec genannt ] lösen lässt.

Es gibt leider kein Patentrezept für Substitutionen!

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Es muss doch einen Grund geben warum hier u=3x/2 gewählt wurde.

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Ok habs schon verstanden.

Man bringt den Term in eine  Form, wo man dann die Trigonometrische Substitution anwenden kann.

http://matheguru.com/analysis/integralrechnung/4-integration-durch-trigonometrische-substitution.html

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Danke für deine HIlfe :)

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Ich habe dir den Grund hingeschrieben.  Ergibt sich eben aus dem Faktor 9 und dem Summanden 4.

Bei √( ax² - b) mit a,b > 0 wäre es  u  =   √a ·x / √b

Mehr kann ich ich dir dazu nicht sagen.

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Eine Frage habe ich da aber noch.

Muss ich dort 3x/2 wählen oder könnte ich nicht an der Stelle direkt das mit dem 1/cos machen ?

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Also direkt trigonometrisch Substituieren.

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mit der zweiten  Substitution u = sec(v)  = 1/ cos(v)  wird u ersetzt, nicht x

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Was ich meine ist, könnte ich dort nicht aus zwei Substitutionen eine machen, da es ja an sich schon das quadrat beider Zahlen ist. Also Beispiel sqrt((3x)^2 - 2^2).

Könnte ich nicht beispielsweise hiervon die Substitution bilden ?

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Grundsätzlich kannst man substituieren, was man will. Die Frage ist nur, ob man damit weiterkommt.

Aber wenn du es unbedingt anders machen willst, als in der angegebenen Lösung, dann kannst du es ja einfach ausprobieren.

Answer 2

Eine andere Möglichkeit mit Substitution: