Lineare Unabhängigkeit nachweisen. T_(1) = { x^2 + 1, x-1 }

Question

Wie kann ich diese Vektoren auf lineare Unabhängigkeit untersuchen?

\( T_{1}=\left\{x^{2}+1, x-1\right\} \)

könnte ich das z.B mit koeffizientenvergleich machen ?

λ (x^2+1)= x-1? Dann x^2 :λ=0 , x^0 : λ =-1 aber dann was ist mit X:

Weitere Frage: Kann ich das mit λ(x^2 +1) + λ (x-1)= 0 zeigen?

Comments

Zeige, dass \(\lambda(x^2+1)+\mu(x-1)=0\) nur die triviale Lösung \(\lambda=\mu=0\) hat.

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kann ich  das mit matrix zeigen?

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Multipliziere die linke Seite der Gleichung aus und sortiere nach Potenzen von \(x\). Koeffizientenvergleich liefert dann die Lösung.

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ok, habe schon gemacht. war verwirrt mit lin Unabhängigkeit von Vektoren vs Polynome. Und jetzt um zu sehen ob es ein Erzeugnis ist soll ich Linearkombinationen  aufstellen?Ich habe auch irgendwas über kürzere weg gehört ( mit Dimension) wäre das hier hilfreich?

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*ich meinte Erzeugensystem

Answer 1

Hi, ich seh da keine Vektoren sondern zwei Polynome. Der Ansatz wäre
$$ \lambda(x^2+1) + \mu(x-1) = 0  $$
Dann Koeffizientenvergleich anwenden, ergibt
$$ \lambda = 0  $$
und $$ \lambda = \mu  $$

Comments

Polynome können keine Vektoren sein?

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ja, hat sich schon erledigt. Vielen dank!