Erste Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion: f(x) = (x^2-1)/(x-1)

Question

Bilden der ersten Ableitung der Funktion:

f(x)= $$ \frac { x^{ 2 }-1 }{ x-1 } $$

Abgeleitet habe ich sie nun bis zu diesem Schritt:

$$ \frac { 2x^{ 2 }-2x-{ x }^{ 2 }+1 }{ { (x-1) }^{ 2 } } $$

nun weiß ich nicht wie ich es zusammenfassen soll.

herauskommen soll 1

Answer 1

( x^2 - 1 ) / ( x - 1 )

Versuche einmal ( x^2 - 1 ) = ( x + 1 ) * ( x -1 )
und dann gegen den Nenner kürzen.

Ansonsten kann ich die " lange " Ableitung auch noch einstellen.

Comments

Habe das nun so aufgeschrieben wie du sagtest.

dann bleibt ja aber noch (x+1) über.

Aber das Ergebnis soll ja 1 sein....

Wo habe ich denn den denkfehler?

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Nach dem Kürzen musst du noch ableiten.

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Jetzt hab ichs!!! vielen Dank :)

und wenn ich den Bruch nun genau anders herum hätte:
$$ \frac { x-1 }{ { x }^{ 2 }-1 } $$

Dann kürze ich auch. Dann bleibt ja wieder (x+1) über. Das abgeleitet ist genau das gleiche wie oben...

das kann ja aber nicht sein, denn im Nenner muss doch (x+1)^2 stehen....

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Dann kürze ich auch. Dann bleibt ja wieder (x+1) über.
Das abgeleitet ist genau das gleiche wie oben...

( x -1 ) / (( x + 1 * ( x - 1 ))

Nach dem kürzen steht ( x + 1 ) im Nenner.

1 / ( x + 1 )

[ 1 / ( x + 1 ) ] ´ =

- 1 / ( x + 1 )^2

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so, wie du es schreibst, dachte ich es mir auch.

allerdings wo kommt die 1 aus dem Zähler her? denn eigentlich ist doch alles weggekürzt..

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( x -1 ) / (( x + 1 * ( x - 1 ))
( x - 1 ) / ( x -1 )  *   1 / ( x+1 )
1 * 1 / ( x + 1 )
1 / ( x + 1 )

a / a ist nicht nichts sondern
a / a = 1

Answer 2

Angenommen, du konntest zu Beginn nicht kürzen. Nur: Besser ist es auf jeden Fall erst mal binomische Formeln in Betracht zu ziehen. Vgl. Antwort  von georgborn.

Wenn du vermutest, dass man irgendwann kürzen kann, solltest du im Zähler Klammern nicht auflösen.

(2x^2-2x- x^2+1 )/((x-1)^2

ist schon zu weit.

Jetzt muss man die Klammern wieder erzeugen.

Hier nur mal dein Zähler:

(2x^2-2x- x^2+1 )

= (x^2 - 2x + 1)     | Binom erkennen

=(x-1)^2