Gegenhinweis: Jene Metode der 3. binomischen Formel, die auch wir in der Uni gezeigt bekamen, entstammt dert Altsteinzeit, als ich noch im Auftrag von Fred Feuerstein die Logaritmen in die Stelen gravierte - sog. Logaritmensäulen ( Damals war das babylongaritmische Wachstäfelchen noch nicht erfunden. )
Was würdest du tun, wenn da statt Quadratwurzel die 4 711. Wurzel stehen würde? In dem Portal Ly cos, das hier gar nicht wohl gelitten ist, stand mal eine Funktion mit einer Kubik-statt einer Quadratwurzel. Seinen Vorschlag finde ich höchst genial, sah mich jedoch genötigt, ihn flexibel für allgemeinere Fälle anzupassen.
1) Du hältst Ausschau nach der höchsten Potenz von n unter dem Radikanden; bei uns ist das r = 4 ( Du darfst ruhig voraus setzen n € |R ; Ganzzahligkeit ist hier nicht gefordert. )
2) m ist die Ordnung der Wurzel; hier also m = 2 für Quadratwurzel.
3) Dann führst du die verallgemeinerte Inversion durch
n ^ r =: 1 / z ^ m ( 1a )
n ^ 4 = 1 / z ² ( 1b )
n ² = 1 / z ( 1c )
Sinn und Zweck der Übung; nach der Transformation bekommst du einen Bruchstrich, wo die Wurzel im Zähler steht und dieses z im Nenner; wozu das gut ist, wirst du gleich sehen.
F ( n ) = n ² - 1 - sqr ( n ^ 4 - n ² ) = ( 2a )
= F ( z ) = 1 / z - 1 - sqr ( 1 / z ² - 1 / z ) = ( 2b )
= ( 1 / z ) [ 1 - z - sqr ( 1 - z ) ] ( 2c )
Im lim n ===> ( °° ) geht natürlich z ===> 0 . Und F ( z ) ist doch weiter nichts als der Differenzenquotient ( DQ ) der eckigen Klammer
f ( z ) := 1 - z - sqr ( 1 - z ) ( 3a )
genommen zwischen z0 = 0 und der beliebigen Stelle z - schlicht und ergreifend weil
f ( 0 ) = 0 ( 3b )
Ihr wisst, was der Grenzwert dieses DQ ergibt, nämlich f ' ( 0 )
f ' ( z ) = 1 / 2 sqr ( 1 - z ) - 1 ( 3c )
f ' ( 0 ) = ( - 1/2 ) ( 3d )
Im unendlich fernen Punkt wäre ja die Anwendung der Differenzialrechnung gar nicht möglich. Ein Spaßvogel schrieb mir mal den Kommentar
" Sag doch selbst; wozu lernen wir eigentlich Definitionsbereich, wenn man so Probleme lösen kann durch Transformation des Definitionsbereichs? "
