Zeige Ungleichheit zweier Mengen: A ≠ P(A)

Question

Zeige, dass für jede beliebige Menge \(A\) gilt \(A \not = P(A) \).

Comments

Du kannst zeigen, dass es keine surjektive Abbildung gibt von A auf P(A). (Dafür musst du den Hinweis verwenden). Ist A eine endliche Menge ist dies trivial, interessant wird es erst im unendlichen.
Es handelt sich hierbei um einen Standardbeweis der sehr leicht zu finden ist: https://de.wikiversity.org/wiki/Potenzmenge/Keine_surjektive_Abbildung_darauf/Aufgabe/L%C3%B6sung

(Ich meine hier im Forum gabs die Frage auch schon mehrmals).

Answer 1

Wenn die Menge \( A \) die leere Menge \( \emptyset \) ist, gilt \(  \mathbb{P}(\emptyset) = \emptyset \) und die aufgestellte Behauptung gilt nicht.

Comments

\(P(\emptyset)=\{\emptyset\}\)

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Das ist falsch und sollte nochmal überdacht werden. Ich beziehe mich auf die Antwort nicht auf den Kommentar über mir der dieselbe Absicht hat :)

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Siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzmenge

oder was meinst Du was falsch ist? Die Aussage der Frage oder die Antworten?

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Siehe erster Kommentar.Eine Menge die die leere Menge enthält ist nicht dasselbe wie die leere Menge.

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Also ist Wikipedia falsch?

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Nein aber deine Interpretation der Gleichung.

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Und was                          

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Hab ich dir doch geschrieben. Vielleicht ein Vergleich:

Die leere Menge sei eine leere Kiste.

Die Potenzmenge der leeren Menge wäre demnach eine Kiste in der eine weitere leere Kiste steckt.

Sprich: P (∅) = {∅}≠∅

Answer 2

\(\mathop{\mathrm{card}}\,\mathcal{P}(A)=2^{\mathop{\mathrm{card}}A}>\mathop{\mathrm{card}}A\) waere ein moegliches Argument für stets \(A\ne\mathcal{P}(A)\).

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Leider noch keine card gehabt. Ich warte auf weitere Vorschläge.

Ein Tipp wäre \( P(A) = A \) annehmen und folgende Menge \( \{x \in A: x \not \in x \} \) betrachten und zum Widerspruch kommen. Leider weiß ich nicht wie...

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@ia224: Da \(A\) nicht unbedingt endlich sein muss, wäre diese Überlegung nur eingeschränkt brauchbar.

@jc225: So könnte es klappen:

Sei \(A=P(A)\).
Dann gilt \( A \in P(A) \Rightarrow A \in A. \)
Dies ist ein Widerspruch zu \(A \notin A \).

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"Da A nicht unbedingt endlich sein muss, wäre diese Überlegung nur eingeschränkt brauchbar."

Kardinalzahlen sind nicht auf Mengen endlicher Maechtigkeit beschraenkt und die angegebene Rechenregel gilt ganz allgemein. Sie sagt konkret aus, dass die Potenzmenge einer Menge immer maechtiger ist als die Menge selber. Also kann Gleichheit schon gar nicht gelten.

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@be125: Ich hatte auch keineswegs die Absicht, etwas anderes zu behaupten. Ich würde dies aber noch nicht als einen Beweis ansehen, sondern eher als eine Umformulierung des zu Zeigenden. Im endlichen Fall ist die Richtigkeit Deines Argumentes sicher offensichtlich, im unendlichen Fall muss man sie zeigen. Einen möglichen Beweis hatte ich schon an anderer Stelle verlinkt, hier noch einmal in voller Ausführlichkeit:

Wikibooks - Beweisarchiv: Mengenlehre: Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): Potenzmenge

Answer 3

Hi, nun möchte ich meinen Kommentar von anderer Stelle hier noch einmal als Antwort mit der Bitte um Diskussion einstellen:
$$ \text{Sei } A=P(A). \\ \text{Dann gilt: } A \in P(A) \Rightarrow A \in A. \\ \text{Dies ist ein Widerspruch zu } A \notin A, \text{ da Mengen}\\ \text{sich nicht selbst als Element enthalten dürfen.} $$Leider weiß ich nicht, ob die angeführte Begründung hier in dieser Weise angewendet werden kann. Sie lässt sich etwa als Folgerung aus dem Fundierungsaxiom ableiten. Immerhin ist das einfacher, als über die Kardinalitäten zu argumentieren. Ich würde mich also über ein paar Rückmeldungen freuen.

Comments

Vielleicht interessiert dich das ja: https://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie
Wobei dir das eventuell schon bekannt ist ;)
Wenn man die obige Behauptung von dir kennt, so ist der Beweis ja vollkommen in Ordnung. Alternative Beweismöglichkeit für die Behauptung kannst du meinem Kommentar unter der Frage entnehmen.

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Ja danke! Die Russel-Antinomie ist mir schon bekannt :-).
Meine Bedenken liegen eher darin, ob man \(A \notin A\)
ohne weiteres voraussetzen darf.

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hier nochmal der Autor des Threads.

Gast jf117, du nimmst an, dass \( A \in A\) nicht gelten kann. Ich arbeite auf der Basis der naiven Mengenlehre. Wenn du mir das damit zeigen könntest, dann OK, aber bis jetzt hilf mir Deine Antwort nicht weiter... Axiome der Mengenlehre kommen ebenso nicht in Frage.

Yakyu, Danke für Deinen Tipp, ich vermute, dass man die Aufgabe unterschiedlich lösen kann (Kardinalzahlen, Abbildungen, Axiomatische Mengenlehre etc.). Es geht aber wirklich um eine Lösung auf der Basis der naiven Mengenlehre, d.h. über die naive Vorstellung der Mengen. Bis jetzt habe ich nur gelernt, dass es keine Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, geben kann (R.-Antinomie) und dass es keine Menge aller Mengen gibt und vielleicht noch, dass man Elemente einer Menge aus einer anderen Menge entnehmen soll. Als Tipp habe ich , wie schon gesagt, dass man die Gleichheit annehmen soll und die Menge \( \{x \in A: x \not \in x\} \) betrachten soll. Leider komme ich nicht zum Widerspruch. Wenn jemand noch eine Idee (Lösung) hat, die nur auf der naiven Mengenlehre basiert, dann werde ich sehr dankbar sein.

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Du kannst einfach den Beweis zum Satz von Cantor, so wie er in der deutschen Wikipedia steht, uebernehmen. Da A=P(A) gelten soll, reduziert sich die dort angesetzte Funktion f auf die Identitaet auf A bzw. P(A) und Du bist direkt bei dem Tipp, den Du in der Aufgabe schon bekommen hast.

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Ok, die Sache fängt an, mich zu interessieren... was aber nicht bedeutet, dass ich dazu viel Erhellendes beisteuern kann.

Der Tipp, den Du hast, besteht offenbar darin, eine bereinigte Teilmenge von \(A\), nennen wir sie \(A'\), zu betrachten, die so beschaffen ist, dass sie keine Elemente mehr enthält, die sich selbst wieder als Element enthalten. Damit ist klar, dass mein Rückgriff auf das Fundierungaxiom nicht zu dem Mengenbegriff, der die Allgemeinheit der betrachteten Menge \(A\) umfasst, passt.

Andererseits geht die in meiner obigen Antwort vorgebrachte Überlegung für die Menge \(A'\) nun ohne Verweis auf das Fundierungsaxiom durch, da \(A'\) entsprechend konstruiert wurde.

Leider ist mir noch nicht klar, wie sich das zur Bestätigung der allgemeineren Aussage über \(A\) nutzen lässt.

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Sei \(M:=\{x\in A: x\notin x\}\) wie im Tipp. Dann ist \(M\subset A\), also \(M\in\mathcal{P}(A)\), also \(M\in A\), da \(A=\mathcal{P}(A)\). Damit qualifiziert sich \(M\) für die in der Definition von \(M\) zu betrachtenden Elemente von \(A\) und die Frage \(M\in M\) oder \(M\notin M\) steht zur Debatte. Ergebnis wie bei Russell.

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Gast be125, danke!!!

Genau darum ging es mir. So ähnlich habe ich auch versucht, aber irgendwie habe ich \( M \subseteq A \) übersehen.

Vielen Dank für Eure Beiträge!